Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta y = a x + b utilizando o método dos mínimos quadrados. (5,3), (10,6), (15,8), (20,10), (25,12)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um conjunto de pontos experimentais: (5,3), , , e . O objetivo aqui é ajustar uma reta do tipo usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar os melhores valores para a e b de modo que a reta fique o mais próximo possível de todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( y) e os valores previstos pela reta ( ). Essas diferenças são chamadas de “resíduos”.

Passo 3

Vamos organizar os nossos dados para facilitar os cálculos. Precisamos de algumas somas:
  • Soma dos valores de x:
  • Soma dos valores de y:
  • Soma dos produtos :
  • Soma dos quadrados de x:
    E também precisamos saber o número de pontos, que é .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas com os nossos dados:

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar a e b:
Vamos calcular a primeiro.

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular b usando o valor de a que achamos:

Resposta

A reta ajustada pelos mínimos quadrados é .

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