Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta y = a x + b utilizando o método dos mínimos quadrados. (1, 1.5), (2, 2.2), (3, 2.8), (4, 3.6), (5, 4.1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um conjunto de pontos experimentais: , , , e . A missão é encontrar a melhor reta que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Esse método é parte da estatística e da matemática aplicada, e basicamente a gente vai encontrar os valores de a e b na equação da reta que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a encontrar a e b. Vamos calcular:
  • A soma de todos os valores de x:
  • A soma de todos os valores de y:
  • A soma dos produtos de x por y:
  • A soma dos quadrados de x:
Vamos fazer esses cálculos com os pontos que temos:

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para encontrar a e b. As fórmulas são:
Aqui, n é o número de pontos, que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos substituir os valores que calculamos na etapa anterior nas fórmulas:
Primeiro, para a:
Agora, para b:

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos dados usando o método dos mínimos quadrados é:

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