Obtenha os pontos críticos das seguintes funções e decida se são pontos de máximo, minimo ou sela:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e decidir se esses pontos são de máximo, mínimo ou sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são:

Passo 3

Agora, vamos classificar cada ponto crítico para ver se é máximo, mínimo ou sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é dada por:
O determinante da Hessiana é:
Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto (1, 1):
    Como e , é um mínimo local.
  2. Ponto (1, -1):
    Como , é um ponto de sela.
  3. Ponto (-1, 1):
    Também é um ponto de sela.
  4. Ponto (-1, -1):
    Como e , é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • (1, 1): Mínimo local
  • (1, -1): Ponto de sela
  • (-1, 1): Ponto de sela
  • (-1, -1): Máximo local

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