Dado um conjunto (universo) U, alguns fatos são conhecidos a respeito de alguns de seus subconjuntos A, B, X, Y, Z: U = A ∪ B, A ∩ B = ∅, U = X ∪ Y ∪ Z, X ∩ Y = X ∩ Z = Y ∩ Z = ∅. Além disso, há um subconjunto T ⊆ U tal que A ⊆ T, X U Y ⊆ T^C. Para cada uma das afirmações abaixo, diga se é necessariamente verdadeira: A ⊆ Z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre teoria de conjuntos, que é uma parte da matemática que estuda as coleções de objetos chamados de elementos. Precisamos analisar as relações entre os conjuntos A, B, X, Y, Z e T dentro do universo U. Vamos usar operações como união, interseção e complemento para entender se a afirmação A ⊆ Z é necessariamente verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  1. e : Isso significa que o universo é formado pela união dos conjuntos A e B, e eles não têm elementos em comum.
  2. e : Aqui, o universo também é dividido em três conjuntos X, Y e Z, que são mutuamente exclusivos, ou seja, não compartilham elementos entre si.
  3. A ⊆ T: O conjunto A está completamente dentro de T.
  4. X U Y ⊆ T^C: A união de X e Y está contida no complemento de T, que é todo o universo que não está em T.

Passo 3

Vamos visualizar isso. Como A ⊆ T e X U Y ⊆ T^C, sabemos que:
  • A está dentro de T.
  • X e Y estão fora de T.
  • Como , e X e Y estão fora de T, então Z deve estar dentro de T para completar o universo, já que T e não se sobrepõem.

Passo 4

Agora, sabemos que tanto A quanto Z estão dentro de T. Mas isso nos diz se A está dentro de Z?
Não necessariamente. O fato de A e Z estarem dentro de T apenas indica que ambos fazem parte de T, mas não que um está contido no outro. Pode ser que A e Z tenham elementos diferentes dentro de T, ou que um seja subconjunto do outro, mas isso não é garantido pelas informações fornecidas.

Resposta

Não, A ⊆ Z não é necessariamente verdadeiro.

Exercícios relacionados