Seja
um subconjunto de
tal que
. Determine todas as possibilidades para o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem um conjunto
que é um subconjunto dos números naturais
. A condição dada é que todo subconjunto de
que não contém o número 1 está dentro do conjunto das partes de
(ou seja, dentro de
). Nosso objetivo é descobrir quais são as possíveis opções para o conjunto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teoria dos Conjuntos, como subconjuntos e conjuntos das partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O conjunto das partes de
, notado como
, é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
A condição do problema diz que todo subconjunto de
que não contém o número 1 deve estar dentro de
. Isso significa que qualquer conjunto de números naturais sem o 1 deve ser um subconjunto de
. Em outras palavras,
precisa ter todos os números naturais exceto o 1 para que todos os subconjuntos sem o 1 possam realmente existir dentro de
.
Passo 4
Vamos considerar duas possibilidades para
:
-
: Se for todo o conjunto dos números naturais, então inclui todos os subconjuntos possíveis de , inclusive aqueles que não têm o 1. Portanto, a condição é satisfeita. -
: Aqui, é o conjunto dos números naturais menos o 1. O conjunto das partes inclui todos os subconjuntos que não têm o 1, justamente o que o problema exige. Dessa forma, também satisfazemos a condição.
Passo 5
Não há outras possibilidades para
que atendam à condição dada sem incluir o 1. Se tentássemos excluir mais números além do 1, alguns subconjuntos sem o 1 não poderiam estar dentro de
, o que violaria a condição do problema. Portanto, as únicas opções válidas são aquelas onde
inclui todos os números naturais ou todos menos o 1.
Resposta
As possibilidades para o conjunto
são:
Exercícios relacionados
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
e
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
e
Dado um conjunto (universo)
, alguns fatos são conhecidos a respeito de alguns de seus subconjuntos
:
,
,
,
. Além disso, há um subconjunto
tal que
,
. Para cada uma das afirmações abaixo, diga se é necessariamente verdadeira:
Calcule