Seja um subconjunto de tal que . Determine todas as possibilidades para o conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem um conjunto que é um subconjunto dos números naturais . A condição dada é que todo subconjunto de que não contém o número 1 está dentro do conjunto das partes de (ou seja, dentro de ). Nosso objetivo é descobrir quais são as possíveis opções para o conjunto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teoria dos Conjuntos, como subconjuntos e conjuntos das partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O conjunto das partes de , notado como , é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de . Por exemplo, se , então .

Passo 3

A condição do problema diz que todo subconjunto de que não contém o número 1 deve estar dentro de . Isso significa que qualquer conjunto de números naturais sem o 1 deve ser um subconjunto de . Em outras palavras, precisa ter todos os números naturais exceto o 1 para que todos os subconjuntos sem o 1 possam realmente existir dentro de .

Passo 4

Vamos considerar duas possibilidades para :
  1. : Se for todo o conjunto dos números naturais, então inclui todos os subconjuntos possíveis de , inclusive aqueles que não têm o 1. Portanto, a condição é satisfeita.
  2. : Aqui, é o conjunto dos números naturais menos o 1. O conjunto das partes inclui todos os subconjuntos que não têm o 1, justamente o que o problema exige. Dessa forma, também satisfazemos a condição.

Passo 5

Não há outras possibilidades para que atendam à condição dada sem incluir o 1. Se tentássemos excluir mais números além do 1, alguns subconjuntos sem o 1 não poderiam estar dentro de , o que violaria a condição do problema. Portanto, as únicas opções válidas são aquelas onde inclui todos os números naturais ou todos menos o 1.

Resposta

As possibilidades para o conjunto são:

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Dado um conjunto (universo) , alguns fatos são conhecidos a respeito de alguns de seus subconjuntos : , , , . Além disso, há um subconjunto tal que , . Para cada uma das afirmações abaixo, diga se é necessariamente verdadeira:
Calcule