Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para integral0^25 f(x) d x.
x 0 5 10 15 20 25
f(x) -42 -37 -25 -6 15 36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma estimativa inferior e superior para a integral usando uma tabela de valores de uma função crescente . Isso está relacionado ao cálculo de integrais e, mais especificamente, à aproximação de integrais usando somas de Riemann. Vamos precisar entender como usar essas somas para encontrar os limites inferior e superior da área sob a curva de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função crescente. Uma função é crescente se, conforme aumenta, também aumenta. No nosso caso, isso significa que os valores de na tabela estão indo crescendo conforme aumenta de 0 a 25.

Passo 3

Agora, para estimar a integral, vamos dividir o intervalo de 0 a 25 em subintervalos iguais. Olhando para a tabela, vemos que os intervalos são de 5 unidades cada: [0,5], [5,10], [10,15], [15,20], e [20,25]. Cada um desses subintervalos terá uma largura ( ) de 5.

Passo 4

Para encontrar a estimativa inferior, vamos usar a soma de Riemann à esquerda. Isso significa que, em cada subintervalo, vamos pegar o valor mínimo de , que nesse caso é o valor no início de cada subintervalo.

Passo 5

Calculando a soma inferior:
Soma Inferior = f(0) times 5 + f(5) times 5 + f(10) times 5 + f(15) times 5 + f(20) times 5
Substituindo os valores:
Soma Inferior = (-42) times 5 + (-37) times 5 + (-25) times 5 + (-6) times 5 + 15 times 5
= (-210) + (-185) + (-125) + (-30) + 75 = -475

Passo 6

Para a estimativa superior, vamos usar a soma de Riemann à direita. Isso significa que, em cada subintervalo, vamos pegar o valor máximo de , que nesse caso é o valor no final de cada subintervalo.

Passo 7

Calculando a soma superior:
Soma Superior = f(5) times 5 + f(10) times 5 + f(15) times 5 + f(20) times 5 + f(25) times 5
Substituindo os valores:
Soma Superior = (-37) times 5 + (-25) times 5 + (-6) times 5 + 15 times 5 + 36 times 5
= (-185) + (-125) + (-30) + 75 + 180 = -175

Resposta

Então, a estimativa inferior para é e a estimativa superior é .

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