Uma tabela de valores de uma função crescente é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para .
0 5 10 15 20 25
-42 -37 -25 -6 15 36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma estimativa inferior e superior para a integral usando uma tabela de valores de uma função crescente . Isso está relacionado ao cálculo de integrais e, mais especificamente, à aproximação de integrais usando somas de Riemann. Vamos precisar entender como usar essas somas para encontrar os limites inferior e superior da área sob a curva de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função crescente. Uma função é crescente se, conforme aumenta, também aumenta. No nosso caso, isso significa que os valores de na tabela estão indo crescendo conforme aumenta de 0 a 25.

Passo 3

Agora, para estimar a integral, vamos dividir o intervalo de 0 a 25 em subintervalos iguais. Olhando para a tabela, vemos que os intervalos são de 5 unidades cada: [0,5], [5,10], [10,15], [15,20], e [20,25]. Cada um desses subintervalos terá uma largura ( ) de 5.

Passo 4

Para encontrar a estimativa inferior, vamos usar a soma de Riemann à esquerda. Isso significa que, em cada subintervalo, vamos pegar o valor mínimo de , que nesse caso é o valor no início de cada subintervalo.

Passo 5

Calculando a soma inferior:
Substituindo os valores:

Passo 6

Para a estimativa superior, vamos usar a soma de Riemann à direita. Isso significa que, em cada subintervalo, vamos pegar o valor máximo de , que nesse caso é o valor no final de cada subintervalo.

Passo 7

Calculando a soma superior:
Substituindo os valores:

Resposta

Então, a estimativa inferior para é e a estimativa superior é .

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Dado um conjunto (universo) , alguns fatos são conhecidos a respeito de alguns de seus subconjuntos : , , , . Além disso, há um subconjunto tal que , . Para cada uma das afirmações abaixo, diga se é necessariamente verdadeira:
Demonstre .
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.