Dado o conjunto V subset R^2 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas respectivamente por (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e alpha(x, y)=(0, alpha x).
Verifique se V é um Espaço Vetorial. square

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que está dentro de , ou seja, é formado por pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de formas específicas:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
O que precisamos fazer aqui é verificar se, com essas operações, é um Espaço Vetorial. Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um Espaço Vetorial precisa satisfazer oito axiomas básicos relacionados à adição e à multiplicação por escalar. Vamos verificar cada um deles para o conjunto com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da adição
Isso significa que se você pegar dois vetores em (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') e somar eles usando a operação definida, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar:
Como são reais, e também são reais. Portanto, a soma de dois vetores em está dentro de .
Conclusão: Axioma 1 é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da adição
Isso quer dizer que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
Vamos ver:
(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') = (x' + x, y' + y) = (x', y') + (x, y)
Como a adição de números reais é comutativa, a ordem não muda o resultado.
Conclusão: Axioma 2 é satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Aqui, queremos ver se a forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
Vamos calcular:
[(x, y) + (x', y')] + (x'', y'') = (x + x' + x'', y + y' + y'')
(x, y) + [(x', y') + (x'', y'')] = (x + x' + x'', y + y' + y'')
Os dois resultados são iguais.
Conclusão: Axioma 3 é satisfeito.

Passo 6

Axioma 4: Existência do elemento neutro na adição
Precisamos encontrar um vetor em (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) que, quando somado a qualquer outro vetor, não o altera.
Vamos supor que o elemento neutro seja :
Conclusão: é o elemento neutro, então o Axioma 4 é satisfeito.

Passo 7

Axioma 5: Existência de inverso aditivo
Para cada vetor em (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0) , precisamos encontrar outro vetor que, quando somado, dá o elemento neutro.
Para , o inverso seria :
Conclusão: Todo vetor tem inverso aditivo, então o Axioma 5 é satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Isso significa que multiplicar um vetor de alpha(x, y) = (0, alpha x) por um escalar deve resultar em outro vetor de .
Vamos verificar:
Aqui, o primeiro componente sempre será 0, independentemente de e . Isso significa que o resultado tem a forma .
Conclusão: A multiplicação por escalar está restrita a vetores com o primeiro componente zero, o que pode limitar o fechamento dependendo dos vetores escolhidos.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Queremos ver se alpha[(x, y) + (x', y')] = alpha(x + x', y + y') = (0, alpha (x + x')) .
Calculando o lado esquerdo:
alpha(x, y) + alpha(x', y') = (0, alpha x) + (0, alpha x') = (0 + 0, alpha x + alpha x') = (0, alpha x + alpha x')
Calculando o lado direito:
alpha (x + x') = alpha x + alpha x'
Observamos que:
Portanto, os dois lados são iguais.
Conclusão: Axioma 7 é satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos verificar se (alpha + beta)(x, y) = (0, (alpha + beta)x) .
Calculando o lado esquerdo:
alpha(x, y) + beta(x, y) = (0, alpha x) + (0, beta x) = (0 + 0, alpha x + beta x) = (0, (alpha + beta)x)
Calculando o lado direito:
Os dois lados são iguais.
Conclusão: Axioma 8 é satisfeito.

Passo 11

Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Precisamos verificar se alpha(beta(x, y)) = alpha(0, beta x) = (0, alpha cdot 0) = (0, 0) .
Calculando o lado esquerdo:
(alpha beta)(x, y) = (0, (alpha beta)x)
Calculando o lado direito:
(0, 0) = (0, (alpha beta)x)
Para que , precisaríamos que:
Isso só é verdade se para todo . Porém, isso não é garantido a menos que ou pelo menos um dos escalares seja zero.
Conclusão: Axioma 9 não é satisfatório em geral.

Passo 12

Axioma 10: Multiplicação por escalar unitário
Verificamos se 1(x, y) = (0, 1 cdot x) = (0, x) .
Calculando:
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e . Isso só acontece se e , ou seja, apenas no vetor zero.
Conclusão: Axioma 10 não é satisfatório em geral.

Resposta

Depois de verificar todos os axiomas, percebemos que nem todos são atendidos. Especialmente, os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar e a ação do escalar unitário não funcionam corretamente com as definições dadas. Portanto, não é um Espaço Vetorial.

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