Dado o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas respectivamente por
e
.
Verifique se
é um Espaço Vetorial.
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que está dentro de
, ou seja, é formado por pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de formas específicas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
O que precisamos fazer aqui é verificar se, com essas operações,
é um Espaço Vetorial. Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um Espaço Vetorial precisa satisfazer oito axiomas básicos relacionados à adição e à multiplicação por escalar. Vamos verificar cada um deles para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da adição
Isso significa que se você pegar dois vetores em
e somar eles usando a operação definida, o resultado também deve estar em
.
Vamos verificar:
Como
são reais,
e
também são reais. Portanto, a soma de dois vetores em
está dentro de
.
Conclusão: Axioma 1 é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Isso quer dizer que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
Vamos ver:
Como a adição de números reais é comutativa, a ordem não muda o resultado.
Conclusão: Axioma 2 é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Aqui, queremos ver se a forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
Vamos calcular:
Os dois resultados são iguais.
Conclusão: Axioma 3 é satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Existência do elemento neutro na adição
Precisamos encontrar um vetor em
que, quando somado a qualquer outro vetor, não o altera.
Vamos supor que o elemento neutro seja
:
Conclusão:
é o elemento neutro, então o Axioma 4 é satisfeito.
Passo 7
Axioma 5: Existência de inverso aditivo
Para cada vetor em
, precisamos encontrar outro vetor que, quando somado, dá o elemento neutro.
Para
, o inverso seria
:
Conclusão: Todo vetor tem inverso aditivo, então o Axioma 5 é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Isso significa que multiplicar um vetor de
por um escalar deve resultar em outro vetor de
.
Vamos verificar:
Aqui, o primeiro componente sempre será 0, independentemente de
e
. Isso significa que o resultado tem a forma
.
Conclusão: A multiplicação por escalar está restrita a vetores com o primeiro componente zero, o que pode limitar o fechamento dependendo dos vetores escolhidos.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Queremos ver se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Observamos que:
Portanto, os dois lados são iguais.
Conclusão: Axioma 7 é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Os dois lados são iguais.
Conclusão: Axioma 8 é satisfeito.
Passo 11
Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Precisamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Para que
, precisaríamos que:
Isso só é verdade se
para todo
. Porém, isso não é garantido a menos que
ou pelo menos um dos escalares seja zero.
Conclusão: Axioma 9 não é satisfatório em geral.
Passo 12
Axioma 10: Multiplicação por escalar unitário
Verificamos se
.
Calculando:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
e
. Isso só acontece se
e
, ou seja, apenas no vetor zero.
Conclusão: Axioma 10 não é satisfatório em geral.
Resposta
Depois de verificar todos os axiomas, percebemos que nem todos são atendidos. Especialmente, os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar e a ação do escalar unitário não funcionam corretamente com as definições dadas. Portanto,
não é um Espaço Vetorial.