Dado o conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0, mostre que W é um sub-espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar usar as propriedades que definem um subespaço: o conjunto precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 - 2 times 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 - 2y1 = 0 e x2 - 2y2 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer (x1 + x2) - 2(y1 + y2) = 0 e em , a soma também deve estar em .
Como e estão em , temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a condição de , então é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se x - 2y = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se c x - 2c y = c(x - 2y) = c times 0 = 0 está em e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando por :
Então, também satisfaz , o que significa que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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