Dado o conjunto
, mostre que
é um sub-espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar usar as propriedades que definem um subespaço: o conjunto precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz a condição de
, então
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um escalar qualquer, então
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando por
:
Então,
também satisfaz
, o que significa que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I.
em
Mostre que o conjunto
é um S.V. de
. Encontre uma base de V.
Mostre que
e
são S.V. de
e
Encontre uma base para
.
Mostre que o conjunto de vetores
de
é LD. vspace1em