Mostre que o conjunto
é um S.V. de
. Encontre uma base de V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você trouxe pede para mostrarmos que o conjunto
é um Subespaço Vetorial (S.V.) de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos encontrar uma base para esse conjunto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto atende aos critérios para ser considerado um. Também vamos precisar trabalhar com polinômios e entender como manipular suas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que, quando avaliados em
, dão zero. Em outras palavras, esses polinômios têm
como raiz.
Passo 3
Agora, para provar que
é um subespaço vetorial de
, precisamos verificar três coisas:
-
O vetor zero está em
: O vetor zero, que no nosso caso é o polinômio , deve estar em . -
Fechamento sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Passo 4
1. O vetor zero está em
:
O polinômio zero é
. Vamos verificar se ele está em
:
Como
, o polinômio zero está em
.
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios qualquer
e
em
. Isso significa que:
Agora, consideremos
:
Então,
também satisfaz a condição
, ou seja, está em
.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um polinômio
em
e um escalar
. Então:
Vamos ver
:
Portanto,
também está em
.
Passo 5
Como verificamos que o vetor zero está em
, e que
é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço
.
Primeiro, vamos caracterizar os polinômios em
. Sabemos que:
Para um polinômio geral de segundo grau:
Impondo a condição
:
Então, qualquer polinômio em
pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer polinômio em
é uma combinação linear de
e
.
Passo 7
Portanto, os polinômios
e
são candidatos para a base de
. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear:
Isso implica que:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
A única solução é
, o que mostra que
e
são linearmente independentes.
Resposta
Assim, uma base para o subespaço
é formada pelos polinômios
.