Mostre que o conjunto V=p(x) in P^2(x): p(1)=0 é um S.V. de P^2(x). Encontre uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você trouxe pede para mostrarmos que o conjunto é um Subespaço Vetorial (S.V.) de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos encontrar uma base para esse conjunto .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto atende aos critérios para ser considerado um. Também vamos precisar trabalhar com polinômios e entender como manipular suas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que, quando avaliados em , dão zero. Em outras palavras, esses polinômios têm como raiz.

Passo 3

Agora, para provar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em : O vetor zero, que no nosso caso é o polinômio , deve estar em .
  2. Fechamento sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .

Passo 4

1. O vetor zero está em p(1) = 0(1) = 0 :
O polinômio zero é p(1) = 0 . Vamos verificar se ele está em q(1) = 0 :
(p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0
Como p(1) = 0 , o polinômio zero está em (c cdot p)(1) = c cdot p(1) = c cdot 0 = 0 .
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios qualquer e em . Isso significa que:
Agora, consideremos :
Então, também satisfaz a condição , ou seja, está em .
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um polinômio em e um escalar . Então:
Vamos ver :
Portanto, também está em .

Passo 5

Como verificamos que o vetor zero está em , e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma base para p(1) = 0 . Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço p(x) = ax^2 + bx + c .
Primeiro, vamos caracterizar os polinômios em a(1)^2 + b(1) + c = 0 . Sabemos que:
a + b + c = 0
Para um polinômio geral de segundo grau:
c = -a - b
Impondo a condição p(x) = ax^2 + bx - a - b :
p(x) = a(x^2 - 1) + b(x - 1)
Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer polinômio em é uma combinação linear de e .

Passo 7

Portanto, os polinômios c1(x^2 - 1) + c2(x - 1) = 0 e c1 x^2 + c2 x - c1 - c2 = 0 são candidatos para a base de c1 = 0 . Precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear:
c2 = 0
Isso implica que:
-c1 - c2 = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é , o que mostra que e são linearmente independentes.

Resposta

Assim, uma base para o subespaço é formada pelos polinômios .

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