Mostre que o conjunto é um S.V. de . Encontre uma base de V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você trouxe pede para mostrarmos que o conjunto é um Subespaço Vetorial (S.V.) de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos encontrar uma base para esse conjunto .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto atende aos critérios para ser considerado um. Também vamos precisar trabalhar com polinômios e entender como manipular suas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que, quando avaliados em , dão zero. Em outras palavras, esses polinômios têm como raiz.
Passo 3
Agora, para provar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três coisas:
O vetor zero está em : O vetor zero, que no nosso caso é o polinômio , deve estar em .
Fechamento sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Passo 4
1. O vetor zero está em :
O polinômio zero é . Vamos verificar se ele está em :
Como , o polinômio zero está em .
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios qualquer e em . Isso significa que:
Agora, consideremos :
Então, também satisfaz a condição , ou seja, está em .
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um polinômio em e um escalar . Então:
Vamos ver :
Portanto, também está em .
Passo 5
Como verificamos que o vetor zero está em , e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço .
Primeiro, vamos caracterizar os polinômios em . Sabemos que:
Para um polinômio geral de segundo grau:
Impondo a condição :
Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer polinômio em é uma combinação linear de e .
Passo 7
Portanto, os polinômios e são candidatos para a base de . Precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear:
Isso implica que:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é , o que mostra que e são linearmente independentes.
Resposta
Assim, uma base para o subespaço é formada pelos polinômios .