Mostre que o conjunto de vetores de é LD. vspace1em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores formado por polinômios: , e precisamos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente (LD) no espaço dos polinômios de grau no máximo 3, que chamamos de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se conseguimos encontrar uma combinação não trivial (ou seja, onde nem todos os coeficientes são zero) desses vetores que resulta no vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos ver se o polinômio pode ser escrito usando uma combinação de , e .
Passo 3
Vamos supor que existe uma combinação linear desses três primeiros vetores que resulte em . Ou seja, vamos procurar constantes , e tais que:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos termos de cada lado da equação. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, obtemos a = 2, b = 1 e c = 2. Isso significa que:
2 cdot 1 + 1 cdot x + 2 cdot x^2 = 2 + x + 2x^2
Passo 6
Portanto, conseguimos expressar o polinômio 2 + x + 2x^2 como uma combinação linear dos vetores 1, x e x^2 com coeficientes não nulos. Isso confirma que o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto 1, x, x^2, 2+x+2 x^2 é linearmente dependente em P3(R).