Mostre que o conjunto de vetores 1, x, x^2, 2+x+2 x^2 de P3(R) é LD. vspace1em

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores formado por polinômios: 1, x, x^2, 2 + x + 2x^2, e precisamos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente (LD) no espaço dos polinômios de grau no máximo 3, que chamamos de P3(R). Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se conseguimos encontrar uma combinação não trivial (ou seja, onde nem todos os coeficientes são zero) desses vetores que resulta no vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos ver se o polinômio 2 + x + 2x^2 pode ser escrito usando uma combinação de 1, x e x^2.

Passo 3

Vamos supor que existe uma combinação linear desses três primeiros vetores que resulte em 2 + x + 2x^2. Ou seja, vamos procurar constantes a, b e c tais que:
a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 = 2 + x + 2x^2

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos termos de cada lado da equação. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = 2 b = 1 c = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema, obtemos a = 2, b = 1 e c = 2. Isso significa que:
2 cdot 1 + 1 cdot x + 2 cdot x^2 = 2 + x + 2x^2

Passo 6

Portanto, conseguimos expressar o polinômio 2 + x + 2x^2 como uma combinação linear dos vetores 1, x e x^2 com coeficientes não nulos. Isso confirma que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto 1, x, x^2, 2+x+2 x^2 é linearmente dependente em P3(R).

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