Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes e dentro do espaço das matrizes . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais e depois encontrar uma base para a soma desses subespaços, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
Fechado sob adição: se dois vetores estão no subespaço, a soma deles também está.
Fechado sob multiplicação por escalar: se um vetor está no subespaço, qualquer múltiplo dele também está.
Vamos verificar essas condições para e .
Passo 3
Começando com :
Isso significa que consiste em matrizes onde as posições e são zero.
Vetor zero: Quando , a matriz é zero. Então, contém o vetor zero.
Fechado sob adição: Se temos duas matrizes em , suas posições e são zero. Somando-as, essas posições continuam zero.
Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando qualquer matriz de por um escalar, as posições e ainda serão zero.
Portanto, é um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos para :
Aqui, temos que é duas vezes , é igual a , e é zero.
Vetor zero: Se , então , e . Portanto, a matriz zero está em .
Fechado sob adição: Se duas matrizes satisfazem e , somando-as, as condições continuam valendo para os componentes resultantes.
Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando uma matriz de por um escalar, as relações e ainda são mantidas, e permanece zero.
Logo, também é um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora que vimos que e são subespaços vetoriais, vamos encontrar uma base para a soma . A soma de subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma de .
Vamos considerar uma matriz genérica em :
e em :
A soma delas será:
Podemos reescrever isso como:
Portanto, as matrizes:
são candidatos a serem uma base para .
Passo 6
Vamos verificar se essas três matrizes são linearmente independentes. Para isso, vemos se a única combinação linear que dá a matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.
Suponha que:
Isso resulta no sistema:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira, e na segunda, . Portanto, as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para 1 & 0 0 & 0 , 1 & 2 2 & 0 , 0 & 1 0 & 0 é formada pelas matrizes