Mostre que V1 e V2 são S.V. de M2 times 2
V1=[ll a & b c & d ]: c=d=0
e
V2=[ll a & b c & d ]: b=2 a, c=b e d=0
Encontre uma base para V1+V2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes e dentro do espaço das matrizes . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais e depois encontrar uma base para a soma desses subespaços, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: se dois vetores estão no subespaço, a soma deles também está.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se um vetor está no subespaço, qualquer múltiplo dele também está.
Vamos verificar essas condições para e .

Passo 3

Começando com V1 = a & b c & d : c = d = 0 :
Isso significa que consiste em matrizes onde as posições e são zero.
  1. Vetor zero: Quando , a matriz é zero. Então, contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se temos duas matrizes em , suas posições e são zero. Somando-as, essas posições continuam zero.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando qualquer matriz de por um escalar, as posições e ainda serão zero.
Portanto, é um subespaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos para V2 = a & b c & d : b = 2a, , c = b, , d = 0 :
Aqui, temos que é duas vezes , é igual a , e é zero.
  1. Vetor zero: Se , então , e . Portanto, a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se duas matrizes satisfazem e , somando-as, as condições continuam valendo para os componentes resultantes.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando uma matriz de por um escalar, as relações e ainda são mantidas, e permanece zero.
Logo, também é um subespaço vetorial.

Passo 5

Agora que vimos que a & b 0 & 0 e a' & 2a' 2a' & 0 são subespaços vetoriais, vamos encontrar uma base para a soma a + a' & b + 2a' 2a' & 0 . A soma de subespaços a 1 & 0 0 & 0 + a' 1 & 2 2 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de 1 & 0 0 & 0 , 1 & 2 2 & 0 , 0 & 1 0 & 0 e uma de .
Vamos considerar uma matriz genérica em :
e em :
A soma delas será:
Podemos reescrever isso como:
Portanto, as matrizes:
são candidatos a serem uma base para .

Passo 6

Vamos verificar se essas três matrizes são linearmente independentes. Para isso, vemos se a única combinação linear que dá a matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.
Suponha que:
c1 1 & 0 0 & 0 + c2 1 & 2 2 & 0 + c3 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta no sistema:
c1 + c2 = 0 2c2 + c3 = 0 2c2 = 0
Da terceira equação, . Substituindo na primeira, e na segunda, . Portanto, as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para 1 & 0 0 & 0 , 1 & 2 2 & 0 , 0 & 1 0 & 0 é formada pelas matrizes

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