Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. em
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de independência linear e montar um sistema de equações para verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são linearmente independentes. Um conjunto de vetores é L.I. se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
deve implicar que .
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes nos polinômios:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Encontramos que a = 0, b = 0 e c = 0 são as únicas soluções para o sistema de equações. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Resposta
Portanto, o conjunto de vetores x^2, x-1,2 x+2 é linearmente independente em P^2(x).