Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. x^2, x-1,2 x+2 em P^2(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto de vetores x^2, x-1,2 x+2 é linearmente independente (L.I.) no espaço P^2(x), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de independência linear e montar um sistema de equações para verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são linearmente independentes. Um conjunto de vetores é L.I. se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
a cdot x^2 + b cdot (x - 1) + c cdot (2x + 2) = 0
deve implicar que a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes nos polinômios:
a cdot x^2 + b cdot x - b + 2c cdot x + 2c = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
a cdot x^2 + (b + 2c) cdot x + (-b + 2c) = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = 0 b + 2c = 0 -b + 2c = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação, já sabemos que a = 0.
  2. Das outras duas equações:
b + 2c = 0 (Equação 2) çã
-b + 2c = 0 (Equação 3) çã
Somando Equação 2 e Equação 3:
(b + 2c) + (-b + 2c) = 0 + 0 Rightarrow 4c = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 na Equação 2:
b + 2 cdot 0 = 0 Rightarrow b = 0

Passo 6

Encontramos que a = 0, b = 0 e c = 0 são as únicas soluções para o sistema de equações. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Resposta

Portanto, o conjunto de vetores x^2, x-1,2 x+2 é linearmente independente em P^2(x).

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto V=p(x) in P^2(x): p(1)=0 é um S.V. de P^2(x). Encontre uma base de V.
Determine a in R tal que a matriz A seja inversível.
A=(lll 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a )
Dado o conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0, mostre que W é um sub-espaço vetorial.
Mostre que V1 e V2 são S.V. de M2 times 2
V1=[ll a & b c & d ]: c=d=0
e
V2=[ll a & b c & d ]: b=2 a, c=b e d=0
Encontre uma base para V1+V2.