Verifique se nos casos: e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas equações paramétricas de retas no espaço tridimensional:
  • , onde
  • , onde
O conteúdo da matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para verificar se , precisamos ver se as duas retas têm todos os pontos em comum, ou seja, se elas coincidem em todos os pontos.

Passo 2

Vamos comparar os pontos iniciais e os vetores diretores das duas retas. Se , então o ponto inicial de uma reta deve estar na outra reta, e os vetores diretores devem ser múltiplos um do outro.
Primeiro, olhamos para os pontos iniciais:
  • Para :
  • Para :
Vamos verificar se pertence à reta . Para isso, devemos encontrar um valor de que satisfaça:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Encontramos o mesmo valor para nas duas equações não triviais, o que significa que pertence à reta .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Os vetores diretores são:
  • Para :
  • Para :
Vamos ver se existe um escalar tal que:
Isso nos dá:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Os valores de coincidem, mostrando que os vetores diretores são múltiplos um do outro.

Resposta

Sim, .

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