Verifique se r=s nos casos: r: X=(1,1,0)+lambda(1,0,-12)(lambda in R) e s: X=(0,1, 12)+mu(-2,0,1) (mu in R)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas equações paramétricas de retas no espaço tridimensional:
  • , onde
  • , onde
O conteúdo da matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para verificar se , precisamos ver se as duas retas têm todos os pontos em comum, ou seja, se elas coincidem em todos os pontos.

Passo 2

Vamos comparar os pontos iniciais e os vetores diretores das duas retas. Se (1,1,0) = (0,1,12) + mu(-2,0,1) , então o ponto inicial de uma reta deve estar na outra reta, e os vetores diretores devem ser múltiplos um do outro.
Primeiro, olhamos para os pontos iniciais:
  • Para 1 = 0 - 2mu 1 = 1 + 0mu 0 = 12 + mu cdot 1 :
  • Para :
Vamos verificar se pertence à reta . Para isso, devemos encontrar um valor de que satisfaça:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
1 = 1 (sempre verdadeira)
Da primeira equação:
1 = -2mu implies mu = -12
Da terceira equação:
0 = 12 + mu implies mu = -12
Encontramos o mesmo valor para nas duas equações não triviais, o que significa que pertence à reta .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Os vetores diretores são:
  • Para (1,0,-12) = k(-2,0,1) : 1 = -2k 0 = 0k -12 = k cdot 1
  • Para k = -12 : k = -12
Vamos ver se existe um escalar tal que:
Isso nos dá:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Os valores de coincidem, mostrando que os vetores diretores são múltiplos um do outro.

Resposta

Sim, .

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