Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um sólido no primeiro octante, que é onde todas as coordenadas são positivas, limitado pelas equações , , , e . Nosso objetivo final é encontrar o volume desse sólido. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. O primeiro octante significa que , e são maiores ou iguais a zero. As equações e representam os planos dos eixos e , respectivamente. A equação é o plano .
Passo 3
A equação representa uma reta no plano . Para encontrar os limites de integração, vamos resolver essa equação para :
Isso nos mostra que, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos olhar para a equação . Isso define a superfície superior do sólido. Para cada ponto no plano , vai de 0 até .
Passo 5
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Onde é a região no plano sobre a qual estamos integrando.
Passo 6
Substituindo pela nossa equação , a integral fica:
Aqui, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a .
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos multiplicar os termos dentro do parêntese:
Passo 9
A integral fica então:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 10
Agora, somamos todos os resultados:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelas equações dadas é unidades cúbicas.