Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um sólido no primeiro octante, que é onde todas as coordenadas são positivas, limitado pelas equações , , , e . Nosso objetivo final é encontrar o volume desse sólido. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. O primeiro octante significa que , e são maiores ou iguais a zero. As equações e representam os planos dos eixos e , respectivamente. A equação é o plano .

Passo 3

A equação representa uma reta no plano . Para encontrar os limites de integração, vamos resolver essa equação para :
Isso nos mostra que, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a equação . Isso define a superfície superior do sólido. Para cada ponto no plano , vai de 0 até .

Passo 5

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Onde é a região no plano sobre a qual estamos integrando.

Passo 6

Substituindo pela nossa equação , a integral fica:
Aqui, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos multiplicar os termos dentro do parêntese:

Passo 9

A integral fica então:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

Agora, somamos todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelas equações dadas é unidades cúbicas.

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