Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
limitada pelo semicírculo
e o eixo
Passo 1
Vamos resolver uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício pede para calcular
, onde a região
é delimitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região
é o semicírculo acima do eixo
, ou seja,
e
. Em coordenadas polares:
-
varia de 0 a 1 (raio do círculo unitário). -
varia de 0 a (para cobrir o semicírculo acima do eixo ).
Passo 4
Vamos substituir os termos da integral para coordenadas polares. A expressão
se simplifica para
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Sabemos que:
Então,
Calculando as integrais:
Portanto, a integral em
é
.
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral é
.