Por meio de coordenadas polares, calcule a integral integral duplaD x^2(x^2+y^2)^3 d A ; R limitada pelo semicírculo y=raiz1-x^2 e o eixo x

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício pede para calcular , onde a região é delimitada pelo semicírculo e pelo eixo . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para coordenadas polares dA = r , dr , dtheta :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região é o semicírculo acima do eixo , ou seja, e . Em coordenadas polares:
  • varia de 0 a 1 (raio do círculo unitário).
  • varia de 0 a (para cobrir o semicírculo acima do eixo ).

Passo 4

Vamos substituir os termos da integral para coordenadas polares. A expressão x^2(x^2+y^2)^3 = (r cos theta)^2 (r^2)^3 = r^2 cos^2 theta cdot r^6 = r^8 cos^2 theta se simplifica para integral duplaD x^2(x^2+y^2)^3 dA = integral0^pi integral0^1 r^8 cos^2 theta cdot r , dr , dtheta = integral0^pi cos^2 theta , dtheta cdot integral0^1 r^9 , dr :
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, para integral0^1 r^9 , dr = [ r^1010 ]0^1 = 110 :
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Depois, para integral0^pi cos^2 theta , dtheta = integral0^pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral0^pi 1 , dtheta + 12 integral0^pi cos 2theta , dtheta :
Sabemos que:
12 integral0^pi 1 , dtheta = 12 [theta]0^pi = pi2
Então,
12 integral0^pi cos 2theta , dtheta = 14 [ sin 2theta ]0^pi = 0
Calculando as integrais:
Portanto, a integral em é .

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
pi2 times 110 = pi20
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados