Por meio de coordenadas polares, calcule a integral limitada pelo semicírculo e o eixo

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício pede para calcular , onde a região é delimitada pelo semicírculo e pelo eixo . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região é o semicírculo acima do eixo , ou seja, e . Em coordenadas polares:
  • varia de 0 a 1 (raio do círculo unitário).
  • varia de 0 a (para cobrir o semicírculo acima do eixo ).

Passo 4

Vamos substituir os termos da integral para coordenadas polares. A expressão se simplifica para :
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, para :
Depois, para :
Sabemos que:
Então,
Calculando as integrais:
Portanto, a integral em é .

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral é .

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Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Seja a interseção do elipsoide com o plano , percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano . O valor da integral de linha é:
Escolha uma opção:


0

Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Dado duas bolas abertas e , encontre uma bola aberta que esteja na interseção de e .