Dado uma base. Determine condições necessárias e suficientes sobre de modo que os vetores sejam LI, com dados por:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as condições necessárias e suficientes para que os vetores , e sejam linearmente independentes. A gente vai trabalhar com uma base e precisa descobrir quais valores de e fazem essa independência acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 3
Vamos escrever os vetores , e em termos das coordenadas da base dada:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz usando essas coordenadas como colunas:
Passo 5
Para verificar a independência, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente independentes, precisamos que o determinante seja diferente de zero:
Resposta
As condições necessárias e suficientes para que os vetores , e sejam linearmente independentes são que .