Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
, definida por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a função
, definida por
, é uma aplicação linear. Então, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Basicamente, uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Então, pra verificar se
é linear, precisamos confirmar que essas duas propriedades valem pra ela.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição. Seja
e
dois polinômios em
. Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Viu? Os dois lados são iguais! Então, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora vamos para a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
um polinômio em
. Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais! Então, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são válidas para
, concluímos que
é uma aplicação linear.