Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
S: P2[x](R) R^3, definida por S(p(x))=(p(0), p^prime(0), p^prime prime(0));

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a função , definida por , é uma aplicação linear. Então, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Basicamente, uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Então, pra verificar se é linear, precisamos confirmar que essas duas propriedades valem pra ela.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição. Seja S(p(x) + q(x)) = S(p(x)) + S(q(x)) e S(p(x) + q(x)) = ((p+q)(0), (p+q)^prime(0), (p+q)^prime prime(0)) = (p(0) + q(0), p^prime(0) + q^prime(0), p^prime prime(0) + q^prime prime(0)) dois polinômios em S(p(x)) + S(q(x)) = (p(0), p^prime(0), p^prime prime(0)) + (q(0), q^prime(0), q^prime prime(0)) = (p(0) + q(0), p^prime(0) + q^prime(0), p^prime prime(0) + q^prime prime(0)) . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Viu? Os dois lados são iguais! Então, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos para a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja S(c cdot p(x)) = c cdot S(p(x)) um número real e S(c cdot p(x)) = ((c cdot p)(0), (c cdot p)^prime(0), (c cdot p)^prime prime(0)) = c cdot p(0), c cdot p^prime(0), c cdot p^prime prime(0) um polinômio em c cdot S(p(x)) = c cdot (p(0), p^prime(0), p^prime prime(0)) = (c cdot p(0), c cdot p^prime(0), c cdot p^prime prime(0)) . Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais! Então, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são válidas para , concluímos que é uma aplicação linear.

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