Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
T: Mn times n(R) Mn times n(R) definida por T X=A X, onde A in Mn times n(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função definida por é uma aplicação linear. Vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função tem essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação linear. Basicamente, uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos no espaço.
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo no espaço.
Essas duas condições garantem que a função “se comporta bem” com combinações lineares dos vetores do espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa função T(X + Y) = A(X + Y) = AX + AY = T(X) + T(Y) .
Aditividade:
T(cX) = A(cX) = c(AX) = cT(X)
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes sobre a adição.
Homogeneidade:
Aqui, utilizamos a propriedade de que a multiplicação de uma matriz por um escalar é o mesmo que multiplicar o resultado pela matriz.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, a função é uma aplicação linear.

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