Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
definida por
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função
definida por
é uma aplicação linear. Vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função tem essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação linear. Basicamente, uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos no espaço. - Homogeneidade:
para todo escalar e todo no espaço.
Essas duas condições garantem que a função
“se comporta bem” com combinações lineares dos vetores do espaço.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa função
.
Aditividade:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes sobre a adição.
Homogeneidade:
Aqui, utilizamos a propriedade de que a multiplicação de uma matriz por um escalar é o mesmo que multiplicar o resultado pela matriz.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, a função
é uma aplicação linear.
Exercícios relacionados
Dado
uma base. Determine condições necessárias e suficientes sobre
de modo que os vetores
sejam LI, com
dados por:
a)
a)
Multiplicar as seguintes matrizes:
e) .
e)
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
, definida por
;
Sendo
o espaço vetorial das matrizes
, verificar se
é LI ou LD , sendo