É dado um elevador vertical de altura L (distância entre o teto e o piso). Durante o fenômeno em causa neste problema, ele é animado de aceleração a vertical, ascendente e constante, porém incógnita. A aceleração local da gravidade é g. Uma partícula que se desprende do teto do elevador cai ao piso em tempo
. Desprezam-se os efeitos do ar ambiente, determine a aceleração do elevador.
Passo 1
Então, temos um elevador que está subindo com uma aceleração constante que a gente precisa descobrir. Dentro desse elevador, uma partícula se solta do teto e leva um tempo $ t $ para cair até o chão. A gente sabe a altura do elevador $ L $ e a gravidade local $ g $. Vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a partícula. Quando ela se solta do teto do elevador, ela está em um referencial que também está acelerando para cima. Isso significa que a partícula vai ter uma aceleração relativa ao chão do elevador.
Passo 3
Para analisar o movimento da partícula, vamos usar a segunda lei de Newton. A força resultante que age na partícula será a combinação da gravidade e da aceleração do elevador.
Passo 4
Vamos definir as forças atuantes na partícula:
- Força da gravidade: $ F_g = m \cdot g $ (para baixo)
- Força devido à aceleração do elevador: $ F_a = m \cdot a $ (para cima)
Aqui, $ m $ é a massa da partícula e $ a $ é a aceleração do elevador.
Passo 5
A força resultante que atua na partícula é:
Essa força vai causar a aceleração da partícula no referencial do elevador.
Passo 6
Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado para a distância percorrida:
Aqui, $ v_0 = 0 $ porque a partícula parte do repouso.
Passo 7
Substituindo $ v_0 = 0 $ e $ a_{resultante} = g - a $:
Passo 8
Agora, queremos isolar a aceleração $ a $:
Multiplicando os dois lados por 2:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por $ t^2 $:
Passo 10
Isolando $ a $:
Resposta
A aceleração do elevador é dada por: