Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b. x^24-z^29=y
z^29=14-y Paraboloide Hiperbólico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a interseção do paraboloide com o plano . Além disso, precisamos identificar se esse paraboloide é simples ou hiperbólico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico, e como encontrar a interseção entre superfícies e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico. Um paraboloide simples tem uma forma que se parece com uma tigela ou um paraboloide que se abre em uma direção. Já o paraboloide hiperbólico tem uma forma de sela, ou seja, ele se abre em direções opostas.
Agora, vamos encontrar a interseção do paraboloide com o plano (-1)^24 - z^29 = y . Para isso, substituímos 14 - z^29 = y na equação do paraboloide:
y = 14 - z^29
Simplificando:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a análise:
Essa é a equação da interseção entre o paraboloide e o plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar essa interseção. A equação representa uma parábola invertida no plano . Isso significa que, para cada valor de , temos um valor correspondente de , formando uma curva parabólica.
Como a equação do paraboloide original foi , e após a substituição obtivemos uma parábola invertida, isso confirma que o paraboloide é do tipo hiperbólico, pois a presença do termo indica que há uma curvatura oposta em relação ao eixo .

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano resulta na equação , que é uma parábola invertida. Portanto, o paraboloide é hiperbólico.

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Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d. 5 y^2+z^2=x
5 y^2+z^2=1 Paraboloide Simples
Dado o elipsoide 4 x^2+9 y^2+16 z^2=25 determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano x=1.
eixo maior =5 eixo menor 1=103 eixo menor 2=52
Traço Y Z: 9 y^225+16 z^225=1 Traço X Z: 4 x^225+16 z^225=1
Traço XY: 4 x^225+9 y^225=1 Traço x=1: 9 y^2+16 z^2=21
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c. 3 y^2-z^2=x
3 y^2-z^2=1 Paraboloide Hiperbólico
Mostre que V=(x1 x2, x3) / x1-4 x2-5 x3=0 in R^3 com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre R.