Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b. x^24-z^29=y
z^29=14-y Paraboloide Hiperbólico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a interseção do paraboloide com o plano . Além disso, precisamos identificar se esse paraboloide é simples ou hiperbólico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico, e como encontrar a interseção entre superfícies e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico. Um paraboloide simples tem uma forma que se parece com uma tigela ou um paraboloide que se abre em uma direção. Já o paraboloide hiperbólico tem uma forma de sela, ou seja, ele se abre em direções opostas.
Agora, vamos encontrar a interseção do paraboloide com o plano (-1)^24 - z^29 = y . Para isso, substituímos 14 - z^29 = y na equação do paraboloide:
y = 14 - z^29
Simplificando:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a análise:
Essa é a equação da interseção entre o paraboloide e o plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar essa interseção. A equação representa uma parábola invertida no plano . Isso significa que, para cada valor de , temos um valor correspondente de , formando uma curva parabólica.
Como a equação do paraboloide original foi , e após a substituição obtivemos uma parábola invertida, isso confirma que o paraboloide é do tipo hiperbólico, pois a presença do termo indica que há uma curvatura oposta em relação ao eixo .

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano resulta na equação , que é uma parábola invertida. Portanto, o paraboloide é hiperbólico.

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