Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b.
Paraboloide Hiperbólico
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a interseção do paraboloide
com o plano
. Além disso, precisamos identificar se esse paraboloide é simples ou hiperbólico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico, e como encontrar a interseção entre superfícies e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide simples e um hiperbólico. Um paraboloide simples tem uma forma que se parece com uma tigela ou um paraboloide que se abre em uma direção. Já o paraboloide hiperbólico tem uma forma de sela, ou seja, ele se abre em direções opostas.
Agora, vamos encontrar a interseção do paraboloide com o plano
. Para isso, substituímos
na equação do paraboloide:
Simplificando:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a análise:
Essa é a equação da interseção entre o paraboloide e o plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar essa interseção. A equação
representa uma parábola invertida no plano
. Isso significa que, para cada valor de
, temos um valor correspondente de
, formando uma curva parabólica.
Como a equação do paraboloide original foi
, e após a substituição obtivemos uma parábola invertida, isso confirma que o paraboloide é do tipo hiperbólico, pois a presença do termo
indica que há uma curvatura oposta em relação ao eixo
.
Resposta
A interseção do paraboloide
com o plano
resulta na equação
, que é uma parábola invertida. Portanto, o paraboloide é hiperbólico.
Exercícios relacionados
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d.
Paraboloide Simples
d.
Dado o elipsoide
determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano
.
eixo maior eixo menor
eixo menor
Traço Traço
Traço XY: Traço
eixo maior
Traço
Traço XY:
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c.
Paraboloide Hiperbólico
c.
Mostre que
com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre
.