A resistência de uma viga de madeira retangular é proporcional a sua largura e ao cubo de sua altura. Determine as proporções (razão entre a altura e a largura) da maior viga que pode ser cortada de um dado tronco cilíndrico.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma viga de madeira com uma seção retangular, e a resistência dela depende da largura (vamos chamar de
) e do cubo da altura (
). Ou seja, a resistência
é proporcional a
e a
. A tarefa é descobrir qual proporção entre a altura e a largura (
) vai dar a maior resistência possível para a viga que a gente pode cortar de um tronco cilíndrico.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação de proporcionalidade da resistência. Como
é proporcional a
e a
, podemos escrever:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, precisamos considerar as restrições do tronco cilíndrico. Supondo que o tronco tem um diâmetro
, a viga retangular precisa caber dentro desse círculo. Isso significa que a diagonal da seção retangular da viga não pode ser maior que o diâmetro do tronco.
A diagonal
da seção retangular é dada por:
E como
, temos:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 4
Queremos maximizar a resistência
dentro da restrição
. Vamos expressar
em função de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Para encontrar o máximo de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Vamos ignorar a constante
já que ela não afeta o ponto de máximo.
Definimos:
Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Fatorando
e igualando a zero:
Desconsideramos a solução trivial
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, sabemos que
. Vamos encontrar
:
Passo 7
A proporção entre a altura e a largura é:
Resposta
A proporção entre a altura e a largura da maior viga que pode ser cortada é
.
Exercícios relacionados
Sabe-se que
é uma função derivável em
e que a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 3 é
. Seja
dada por
. Determine
. Resp.: -1.
Uma janela tem a forma de um retângulo com um semicírculo no topo. Se o perímetro total é fixo, determine as proporções da janela (isto é, a razão entre a altura e a base) que permitirá máxima iluminação.
Sejam
. Determine
e
de modo que
seja mínimo.
Dado que a equação polar de um gráfico é
, ache a equação cartesiana.