A resistência de uma viga de madeira retangular é proporcional a sua largura e ao cubo de sua altura. Determine as proporções (razão entre a altura e a largura) da maior viga que pode ser cortada de um dado tronco cilíndrico.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma viga de madeira com uma seção retangular, e a resistência dela depende da largura (vamos chamar de ) e do cubo da altura ( ). Ou seja, a resistência é proporcional a e a . A tarefa é descobrir qual proporção entre a altura e a largura ( ) vai dar a maior resistência possível para a viga que a gente pode cortar de um tronco cilíndrico.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação de proporcionalidade da resistência. Como é proporcional a e a , podemos escrever:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, precisamos considerar as restrições do tronco cilíndrico. Supondo que o tronco tem um diâmetro , a viga retangular precisa caber dentro desse círculo. Isso significa que a diagonal da seção retangular da viga não pode ser maior que o diâmetro do tronco.
A diagonal da seção retangular é dada por:
E como , temos:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 4

Queremos maximizar a resistência dentro da restrição . Vamos expressar em função de :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Para encontrar o máximo de , vamos derivar em relação a e igualar a zero. Vamos ignorar a constante já que ela não afeta o ponto de máximo.
Definimos:
Derivando em relação a :
Simplificando:
Fatorando e igualando a zero:
Desconsideramos a solução trivial , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, sabemos que . Vamos encontrar :

Passo 7

A proporção entre a altura e a largura é:

Resposta

A proporção entre a altura e a largura da maior viga que pode ser cortada é .

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