Sejam . Determine e de modo que seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois números reais, e , que multiplicados dão 36, ou seja, . A nossa missão é encontrar os valores de e que fazem com que a soma seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização e propriedades básicas de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos procurando minimizar a soma sob a condição de que . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que, ao se multiplicarem, dão 36 e, ao mesmo tempo, somam o menor valor possível.

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, podemos usar a Desigualdade da Média Aritmética e Média Geométrica (AM ≥ GM). Essa desigualdade nos diz que, para dois números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Em termos matemáticos:
Essa desigualdade atinge a igualdade quando .

Passo 4

Aplicando a desigualdade no nosso caso, sabemos que . Vamos substituir na desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que a soma não pode ser menor que 12.

Passo 5

A desigualdade mostra que o menor valor possível para é 12, e isso ocorre quando . Sabemos que e , então podemos substituir:
Portanto, também é 6.

Resposta

Os valores de e que minimizam são e , resultando em .

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