Sejam
. Determine
e
de modo que
seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois números reais,
e
, que multiplicados dão 36, ou seja,
. A nossa missão é encontrar os valores de
e
que fazem com que a soma
seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização e propriedades básicas de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos procurando minimizar a soma
sob a condição de que
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
e
que, ao se multiplicarem, dão 36 e, ao mesmo tempo, somam o menor valor possível.
Passo 3
Para resolver esse tipo de problema, podemos usar a Desigualdade da Média Aritmética e Média Geométrica (AM ≥ GM). Essa desigualdade nos diz que, para dois números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Em termos matemáticos:
Essa desigualdade atinge a igualdade quando
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade no nosso caso, sabemos que
. Vamos substituir na desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que a soma
não pode ser menor que 12.
Passo 5
A desigualdade mostra que o menor valor possível para
é 12, e isso ocorre quando
. Sabemos que
e
, então podemos substituir:
Portanto,
também é 6.
Resposta
Os valores de
e
que minimizam
são
e
, resultando em
.
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A resistência de uma viga de madeira retangular é proporcional a sua largura e ao cubo de sua altura. Determine as proporções (razão entre a altura e a largura) da maior viga que pode ser cortada de um dado tronco cilíndrico.
Sabe-se que
é uma função derivável em
e que a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 3 é
. Seja
dada por
. Determine
. Resp.: -1.
Dado que a equação polar de um gráfico é
, ache a equação cartesiana.
Mostre que a função
é contínua apenas em
.