Dado o espaço vetorial M2 e o subconjunto A=(ll-1 & 2 -2 & 3),(ll3 & -1 1 & 1). Determine o subespaço gerado por A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo espaços vetoriais. O problema fala sobre o espaço de todas as matrizes 2x2, que chamamos de , e nos dá um conjunto com duas matrizes específicas. Nosso objetivo é descobrir qual é o subespaço gerado por , ou seja, todas as combinações lineares dessas duas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, combinação linear e subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço com um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso). O subespaço gerado por é formado por todas as combinações lineares das matrizes em . Isso quer dizer que qualquer matriz nesse subespaço pode ser escrita como , onde e são escalares (números reais) e são as matrizes de .

Passo 3

Vamos escrever as matrizes de M1 = -1 & 2 -2 & 3 , M2 = 3 & -1 1 & 1 :
c1 cdot -1 & 2 -2 & 3 + c2 cdot 3 & -1 1 & 1 = -c1 + 3c2 & 2c1 - c2 -2c1 + c2 & 3c1 + c2
Agora, queremos descrever todas as matrizes que podem ser formadas por combinações lineares dessas duas. Ou seja:

Passo 4

Para entender melhor, vamos ver se essas duas matrizes são linearmente independentes. Se forem, o subespaço gerado por c1 cdot M1 + c2 cdot M2 = 0 & 0 0 & 0 terá dimensão 2, ou seja, será um plano dentro do espaço - c1 + 3c2 = 0 2c1 - c2 = 0 -2c1 + c2 = 0 3c1 + c2 = 0 . Para verificar a independência, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é e , o que confirma que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 5

Como as duas matrizes são linearmente independentes, o subespaço gerado por é formado por todas as matrizes que podem ser escritas como combinação linear de e . Portanto, esse subespaço é um plano bidimensional dentro de .

Resposta

O subespaço gerado por consiste em todas as matrizes da forma , onde e são números reais. Isso forma um plano bidimensional em , já que e são linearmente independentes.

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