Dado o espaço vetorial e o subconjunto . Determine o subespaço gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo espaços vetoriais. O problema fala sobre o espaço de todas as matrizes 2x2, que chamamos de , e nos dá um conjunto com duas matrizes específicas. Nosso objetivo é descobrir qual é o subespaço gerado por , ou seja, todas as combinações lineares dessas duas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, combinação linear e subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço com um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso). O subespaço gerado por é formado por todas as combinações lineares das matrizes em . Isso quer dizer que qualquer matriz nesse subespaço pode ser escrita como , onde e são escalares (números reais) e são as matrizes de .
Passo 3
Vamos escrever as matrizes de :
Agora, queremos descrever todas as matrizes que podem ser formadas por combinações lineares dessas duas. Ou seja:
Passo 4
Para entender melhor, vamos ver se essas duas matrizes são linearmente independentes. Se forem, o subespaço gerado por terá dimensão 2, ou seja, será um plano dentro do espaço . Para verificar a independência, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é e , o que confirma que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 5
Como as duas matrizes são linearmente independentes, o subespaço gerado por é formado por todas as matrizes que podem ser escritas como combinação linear de e . Portanto, esse subespaço é um plano bidimensional dentro de .
Resposta
O subespaço gerado por consiste em todas as matrizes da forma , onde e são números reais. Isso forma um plano bidimensional em , já que e são linearmente independentes.