Dado o espaço vetorial R^3, determinar o subespaço gerado por A=v1, v2, onde v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial R^3 e queremos descobrir qual é o subespaço gerado pelo conjunto A = v1, v2, onde v1 = (1, -2, -1) e v2 = (2, 1, 1). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço gerado por A é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, é todo vetor que pode ser escrito na forma s cdot v1 + t cdot v2, onde s e t são números reais.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os vetores v1 e v2 são linearmente independentes. Isso é importante porque se forem independentes, o subespaço gerado será um plano em R^3. Para verificar a independência linear, vamos ver se existe alguma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor nulo.

Passo 4

Vamos supor que exista uma combinação s cdot v1 + t cdot v2 = (0, 0, 0). Isso nos dá o sistema de equações:
s + 2t = 0 -2s + t = 0 - s + t = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que a única solução é s = 0 e t = 0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores são linearmente independentes, o subespaço gerado por A é um plano que passa pela origem em R^3. Esse plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores v1 e v2.

Resposta

O subespaço gerado por A = v1, v2 é o conjunto de todos os vetores da forma s(1, -2, -1) + t(2, 1, 1), onde s e t são números reais. Portanto,
span(A) = , (s + 2t,; -2s + t,; -s + t) ;g|; s, t in R ,

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