Dado o espaço vetorial , determinar o subespaço gerado por , onde .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial e queremos descobrir qual é o subespaço gerado pelo conjunto , onde e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço gerado por é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, é todo vetor que pode ser escrito na forma , onde e são números reais.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Isso é importante porque se forem independentes, o subespaço gerado será um plano em . Para verificar a independência linear, vamos ver se existe alguma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor nulo.
Passo 4
Vamos supor que exista uma combinação . Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que a única solução é s = 0 e t = 0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores são linearmente independentes, o subespaço gerado por A é um plano que passa pela origem em R^3. Esse plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores v1 e v2.
Resposta
O subespaço gerado por A = v1, v2 é o conjunto de todos os vetores da forma s(1, -2, -1) + t(2, 1, 1), onde s e t são números reais. Portanto,
span(A) = , (s + 2t,; -2s + t,; -s + t) ;g|; s, t in R ,