Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(b) Se um conjunto de vetores é l.d., então qualquer um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.
(b) Se um conjunto de vetores é l.d., então qualquer um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela fala sobre conjuntos de vetores linearmente dependentes (l.d.). O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente a teoria de combinações lineares e dependência linear. Para resolver, precisamos lembrar que se um conjunto de vetores é linearmente dependente, então pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é l.d. se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero. Isso implica que pelo menos um dos vetores pode ser expresso como uma combinação dos outros vetores no conjunto.
Passo 3
Agora, aplicando isso à afirmação: se temos um conjunto de vetores l.d., então necessariamente algum vetor desse conjunto é combinação linear dos demais. Isso está alinhado com a definição de dependência linear, onde a presença de dependência indica que pelo menos um vetor não é “independente” dos outros, podendo ser escrito como uma combinação deles.
Resposta
A afirmação é verdadeira.