Dado o espaço vetorial V, determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de V a seguir:
e) U cap T, T+W e U+V+T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar uma base e a dimensão de alguns subespaços de um espaço vetorial . Especificamente, precisamos encontrar as bases e dimensões de , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como interseção e soma de subespaços, além de como encontrar bases e dimensões desses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a interseção . Isso representa todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para encontrar uma base para , precisamos achar uma combinação dos vetores que estão em ambas as bases de e .

Passo 3

Agora, sobre a soma . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de com um vetor de . Para encontrar uma base para , juntamos as bases de e e eliminamos vetores redundantes para garantir que a base seja mínima e linearmente independente.

Passo 4

Finalmente, temos . Mas já que é o próprio espaço vetorial, a soma simplesmente resulta em novamente, porque qualquer vetor em já pode ser representado como uma combinação linear de vetores em .

Passo 5

Agora, para encontrar as dimensões:
  • Dimensão de : É o número de vetores na base de .
  • Dimensão de : É o número de vetores na base de .
  • Dimensão de : Já que , a dimensão é a dimensão de .

Resposta

Portanto, resumindo:
  • Uma base para e sua dimensão dependem dos vetores comuns a e .
  • Uma base para é obtida combinando as bases de e e eliminando vetores redundantes, e sua dimensão corresponde ao número de vetores nessa base.
  • A soma resulta no próprio espaço , cuja dimensão é a dimensão de .

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