Dado o espaço vetorial
, determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de
a seguir:
e)
e
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar uma base e a dimensão de alguns subespaços de um espaço vetorial
. Especificamente, precisamos encontrar as bases e dimensões de
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como interseção e soma de subespaços, além de como encontrar bases e dimensões desses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a interseção
. Isso representa todos os vetores que estão tanto em
quanto em
. Para encontrar uma base para
, precisamos achar uma combinação dos vetores que estão em ambas as bases de
e
.
Passo 3
Agora, sobre a soma
. A soma de dois subespaços
e
é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de
com um vetor de
. Para encontrar uma base para
, juntamos as bases de
e
e eliminamos vetores redundantes para garantir que a base seja mínima e linearmente independente.
Passo 4
Finalmente, temos
. Mas já que
é o próprio espaço vetorial, a soma
simplesmente resulta em
novamente, porque qualquer vetor em
já pode ser representado como uma combinação linear de vetores em
.
Passo 5
Agora, para encontrar as dimensões:
- Dimensão de
: É o número de vetores na base de . - Dimensão de
: É o número de vetores na base de . - Dimensão de
: Já que , a dimensão é a dimensão de .
Resposta
Portanto, resumindo:
- Uma base para
e sua dimensão dependem dos vetores comuns a e . - Uma base para
é obtida combinando as bases de e e eliminando vetores redundantes, e sua dimensão corresponde ao número de vetores nessa base. - A soma
resulta no próprio espaço , cuja dimensão é a dimensão de .