Mostre que em
a função definina por
é um produto interno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa função em
é um produto interno. Produto interno é uma maneira de medir “ângulos” e “comprimentos” em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a linearidade. Isso significa que a função deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, para vetores
e escalares
, devemos ter:
No nosso caso, a função é
. Vemos que multiplicar um vetor por um escalar e depois aplicar a função resulta na multiplicação do resultado pela mesma constante, então a linearidade está ok.
Passo 3
Agora, vamos verificar a simetria, que diz que
. Aplicando nossa função:
Como a multiplicação é comutativa,
,
, etc. Portanto, a simetria também está satisfeita.
Passo 4
Por último, precisamos checar a positividade definida, que significa que
para todo
. Calculando:
Todos os termos
,
,
,
são positivos ou zero. Como
, pelo menos um desses termos é positivo, então a soma também é positiva.
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.