Mostre que em R^4 a função definina por lang<=(a, b, c, d),(x, y, z, w)rang<== 2 a x+b y+c z+d w é um produto interno de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa função em R^4 é um produto interno. Produto interno é uma maneira de medir “ângulos” e “comprimentos” em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a linearidade. Isso significa que a função deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, para vetores u, v, w e escalares alpha, devemos ter:
lang<= alpha u + v, w rang<= = alpha lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
No nosso caso, a função é lang<=(a, b, c, d),(x, y, z, w)rang<= = 2 a x + b y + c z + d w. Vemos que multiplicar um vetor por um escalar e depois aplicar a função resulta na multiplicação do resultado pela mesma constante, então a linearidade está ok.

Passo 3

Agora, vamos verificar a simetria, que diz que lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=. Aplicando nossa função:
lang<=(a, b, c, d),(x, y, z, w)rang<= = 2 a x + b y + c z + d w
lang<=(x, y, z, w),(a, b, c, d)rang<= = 2 x a + y b + z c + w d
Como a multiplicação é comutativa, 2 a x = 2 x a, b y = y b, etc. Portanto, a simetria também está satisfeita.

Passo 4

Por último, precisamos checar a positividade definida, que significa que lang<= u, u rang<= > 0 para todo u neq 0. Calculando:
lang<=(a, b, c, d),(a, b, c, d)rang<= = 2 a^2 + b^2 + c^2 + d^2
Todos os termos 2 a^2, b^2, c^2, d^2 são positivos ou zero. Como u neq 0, pelo menos um desses termos é positivo, então a soma também é positiva.

Resposta

Concluímos que a função lang<=(a, b, c, d),(x, y, z, w)rang<= = 2 a x + b y + c z + d w satisfaz todas as propriedades de um produto interno em R^4.

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