Encontre os valores de k in R para os quais:
(b) o sistema
[ccc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & k^2-14 ][l x y z ]=[c 4 2 k+2 ]
(i) não tenha solução;
(ii) tenha solução única;
(iii) tenha infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar os valores de que fazem com que o sistema de equações dado não tenha solução, tenha uma solução única ou tenha infinitas soluções. Estamos trabalhando com sistemas lineares, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes de matrizes e condições de existência de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & k^2-14
E o vetor dos termos constantes:
b = 4 2 k+2
Para saber se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 3

O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot [(-1)(k^2-14) - 5 cdot 1] - 2 cdot [3(k^2-14) - 5 cdot 4] + (-3) cdot [3 cdot 1 - (-1) cdot 4] pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos calcular o determinante de :
Simplificando isso passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
1 cdot [(-1)(k^2-14) - 5 cdot 1] = (-k^2 + 14) - 5 = -k^2 + 9
  1. Segundo termo:
-2 cdot [3(k^2-14) - 20] = -2 cdot [3k^2 - 42 - 20] = -2 cdot (3k^2 - 62) = -6k^2 + 124
  1. Terceiro termo:
-3 cdot [3 cdot 1 - (-1) cdot 4] = -3 cdot [3 + 4] = -3 cdot 7 = -21

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses termos para encontrar o determinante total:
det(A) = (-k^2 + 9) + (-6k^2 + 124) + (-21) = -7k^2 + 112

Passo 6

Agora que temos o determinante da matriz , que é , vamos analisar os casos:
  1. Sistema tem solução única: quando .
  2. Sistema não tem solução ou tem infinitas soluções: quando .
Vamos resolver para encontrar os valores críticos de .

Passo 7

Resolvendo:
-7k^2 + 112 = 0 -7k^2 = -112 k^2 = 16 k = pm 4
Então, os valores críticos são e .

Passo 8

Agora, vamos resumir:
  • Para e :
    • , então o sistema tem solução única.
  • Para ou :
    • , então precisamos verificar se o sistema é compatível (tem soluções) ou incompatível (não tem solução).

Passo 9

Para A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & 16 - 14 = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & 2 e 4 2 6 , substituímos na matriz aumentada e verificamos a consistência.
Vamos considerar k + 2 = -4 + 2 = -2 :
E o vetor .
Aplicando eliminação de Gauss, veremos que as equações são consistentes, resultando em infinitas soluções.
O mesmo ocorre para :
A matriz também fica consistente, levando a infinitas soluções.

Passo 10

Resumindo:
  • (i) O sistema não tem solução: Não ocorre para nenhum valor real de .
  • (ii) O sistema tem solução única: Para todos os valores de exceto e .
  • (iii) O sistema tem infinitas soluções: Para e .

Resposta

(i) Não há valores de que façam o sistema não ter solução;
(ii) O sistema tem solução única para todo e ;
(iii) O sistema tem infinitas soluções quando ou .

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