Dados os pontos A(-1,2,1), B(2,-1,4), C(-1,-3,3), D(1,0,0) pede-se: d) a distância entre a reta lx=1-2 t y=-2+3 t z=3-2 t e a reta lx=-2 t y=-2+3 t z=-2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula para calcular a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
  • Reta 1:
    x = 1 - 2t y = -2 + 3t z = 3 - 2t
    Aqui, o vetor diretor da reta 1 é x = -2t y = -2 + 3t z = -2t e um ponto da reta é .
  • Reta 2:
    O vetor diretor da reta 2 é e um ponto da reta é .

Passo 3

Observamos que os vetores diretores das duas retas são iguais, ou seja, Distância = |(B - A) times d||d| . Isso significa que as retas são paralelas. Quando duas retas são paralelas e distintas, a distância entre elas pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
â
Onde:
  • e são pontos em cada reta.
  • é o vetor diretor comum das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o módulo (ou comprimento) do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o vetor B - A = (0 - 1, -2 - (-2), 0 - 3) = (-1, 0, -3) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial (B - A) times d = i & j & k -1 & 0 & -3 -2 & 3 & -2 :
i(0 cdot (-2) - (-3) cdot 3) - j((-1) cdot (-2) - (-3) cdot (-2)) + k((-1) cdot 3 - 0 cdot (-2))
Calculando o determinante:
= i(0 + 9) - j(2 - 6) + k(-3 - 0)
= 9i + 4j - 3k
Então, .

Passo 6

Agora, calculamos o módulo desse vetor:
|(B - A) times d| = raiz9^2 + 4^2 + (-3)^2 = raiz81 + 16 + 9 = raiz106

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor |d| = raiz(-2)^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17 :

Passo 8

Finalmente, usamos a fórmula da distância:
Distância = raiz106raiz17 = raiz10617 = raiz6.235 approx 2.497 â

Resposta

A distância entre as duas retas é aproximadamente 2,497 unidades.

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