Dado o estado:
com
uma base ortonormal.
b) Considere o operador
. Qual o valor médio de
no estado
?
b) Considere o operador
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos apresenta um estado quântico
escrito em termos de uma base ortonormal
. A gente precisa calcular o valor médio (ou esperado) do operador
nesse estado. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de um operador em um estado quântico e usar as propriedades das bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de um operador
em um estado
. A fórmula é:
No nosso caso,
, então:
Agora, vamos substituir o operador
pela expressão dada:
Então, temos:
Podemos distribuir a soma:
Agora, vamos usar a expressão do estado
:
Onde
é uma constante de normalização. Para encontrar
, sabemos que
:
Reconhecemos que a soma é a série de Taylor de
, então:
Voltando ao cálculo de
, vamos calcular
:
E similarmente,
. Então, temos:
Sabemos que
, então:
Vamos separar a soma em duas partes:
A primeira soma é:
E a segunda soma é:
Então, temos:
Resposta
O valor médio de
no estado
é
.
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