Dado o estado:
|alpharang<==N sumn=0^infty raizalpha^nn!|nrang<=
com |nrang<= uma base ortonormal.
b) Considere o operador A=sumn=0^infty(n-1)|nrang<=lang<= n|. Qual o valor médio de A no estado |alpharang<= ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos apresenta um estado quântico |alpharang<= escrito em termos de uma base ortonormal |nrang<=. A gente precisa calcular o valor médio (ou esperado) do operador A = sumn=0^infty(n-1)|nrang<=lang<= n| nesse estado. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de um operador em um estado quântico e usar as propriedades das bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de um operador A em um estado |psirang<=. A fórmula é:
lang<= A rang<= = lang<= psi | A | psi rang<=
No nosso caso, |psirang<= = |alpharang<=, então:
lang<= A rang<= = lang<= alpha | A | alpha rang<=
Agora, vamos substituir o operador A pela expressão dada:
A = sumn=0^infty(n-1)|nrang<=lang<= n|
Então, temos:
lang<= A rang<= = lang<= alpha | ( sumn=0^infty (n-1)|nrang<=lang<= n| ) | alpha rang<=
Podemos distribuir a soma:
lang<= A rang<= = sumn=0^infty (n-1) lang<= alpha |nrang<=lang<= n| alpha rang<=
Agora, vamos usar a expressão do estado |alpharang<=:
|alpharang<= = N summ=0^infty raizalpha^mm! |mrang<=
Onde N é uma constante de normalização. Para encontrar N, sabemos que lang<= alpha | alpha rang<= = 1:
N^2 summ=0^infty alpha^mm! = 1
Reconhecemos que a soma é a série de Taylor de e^alpha, então:
N = e^-alpha/2
Voltando ao cálculo de lang<= A rang<=, vamos calcular lang<= alpha |nrang<=:
lang<= alpha |nrang<= = N raizalpha^nn!
E similarmente, lang<= n | alpha rang<= = N raizalpha^nn!. Então, temos:
lang<= A rang<= = sumn=0^infty (n-1) ( N raizalpha^nn! ) ( N raizalpha^nn! ) = N^2 sumn=0^infty (n-1) alpha^nn!
Sabemos que N^2 = e^-alpha, então:
lang<= A rang<= = e^-alpha sumn=0^infty (n-1) alpha^nn!
Vamos separar a soma em duas partes:
sumn=0^infty n alpha^nn! - sumn=0^infty alpha^nn!
A primeira soma é:
sumn=0^infty n alpha^nn! = alpha e^alpha
E a segunda soma é:
sumn=0^infty alpha^nn! = e^alpha
Então, temos:
lang<= A rang<= = e^-alpha (alpha e^alpha - e^alpha) = e^-alpha e^alpha (alpha - 1) = alpha - 1

Resposta

O valor médio de A no estado |alpharang<= é lang<= A rang<= = alpha - 1.

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