Um dado excesso de carga positivo é distribuído por um volume cilíndrico muito longo de raio R de tal forma que a densidade de carga aumenta com a distância r ao eixo central do cilindro, de acordo com rho=alpha, em que alpha é uma constante. Determine as expressões para o campo elétrico em função de r (interna e externamente ao cilindro).

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro muito longo com raio R onde a densidade de carga positiva aumenta conforme a distância r do eixo central, seguindo rho = alpha. A missão aqui é descobrir como o campo elétrico varia com r, tanto dentro quanto fora desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática para calcular campos elétricos de distribuições de carga com certa simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática varepsilon0. Em fórmula:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0

Passo 3

Agora, como nosso cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial com o nosso. O raio desse cilindro gaussiano será r, que pode ser menor ou maior que R, dependendo de onde queremos calcular o campo elétrico.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o campo elétrico dentro do cilindro, ou seja, quando r < R. A densidade de carga é constante e igual a alpha, então a carga dentro do cilindro gaussiano é:
Qtotal = rho cdot volume = alpha cdot pi r^2 L
onde L é o comprimento do cilindro gaussiano.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = alpha pi r^2 Lvarepsilon0
Aqui, 2pi r L é a área lateral do cilindro gaussiano e E é o campo elétrico que é o mesmo em todos os pontos devido à simetria.

Passo 6

Resolvendo para E dentro do cilindro ( r < R):
E = alpha r2 varepsilon0
Isso mostra que o campo elétrico aumenta linearmente com r quando estamos dentro do cilindro.

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando r >= R. Nessa situação, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana. A carga total do cilindro de raio R é:
Qtotal = alpha cdot pi R^2 L

Passo 8

Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = alpha pi R^2 Lvarepsilon0

Passo 9

Resolvendo para E fora do cilindro ( r >= R):
E = alpha R^22 varepsilon0 r
Isso mostra que o campo elétrico diminui inversamente com r quando estamos fora do cilindro.

Resposta

O campo elétrico em função de r é dado por:
E(r) = alpha r2 varepsilon0 & para r < R alpha R^22 varepsilon0 r & para r >= R

Exercícios relacionados

Uma esfera condutora de 12 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido. a) Sabendose que o campo elétrico à distância de 9 cm do centro da esfera tem módulo igual a 2 times 10^3 N / C e aponta radialmente para dentro, determine a carga líquida sobre a esfera. b) Determine a densidade superficial de carga máxima para que não seja rompida a rigidez dielétrica da esfera imersa no ar.
Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura h=200 m sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é vP=60,0 m / s e faz um ângulo de theta=60,0^circ acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como g=9,80 m / s^2 :
v(t)=v0+a t (1 ponto)
Então:
v(t)=30,0 i+(51,96-9,80 t) j m / s (2 pontos )
Uma linha infinita de cargas produz um campo de 2,5 times 10^5 N / C a uma distância de 0,6 m .
Calcule a densidade linear de carga lambda sobre a linha.
Sobre a Lei de Gaus: varepsilon0 oint E cdot d A=q. Você concorda com as afirmativas abaixo? Explique.
a) É utilizada para determinar o fluxo de cargas elétricas através de uma superfície fechada hipotética;
b) Sempre que na região englobada pela gaussiana a carga total c) Se o campo elétrico é nulo no volume englobado pela gaussiana, a carga q englobada é nula.
d) O campo elétrico obtido a partir da Lei de Gauss é exclusivamente devido à carga q englobada pela gaussiana.