Um dado excesso de carga positivo é distribuído por um volume cilíndrico muito longo de raio de tal forma que a densidade de carga aumenta com a distância ao eixo central do cilindro, de acordo com , em que é uma constante. Determine as expressões para o campo elétrico em função de (interna e externamente ao cilindro).
Passo 1
Então, a gente tem um cilindro muito longo com raio onde a densidade de carga positiva aumenta conforme a distância do eixo central, seguindo . A missão aqui é descobrir como o campo elétrico varia com , tanto dentro quanto fora desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática para calcular campos elétricos de distribuições de carga com certa simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática . Em fórmula:
Passo 3
Agora, como nosso cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial com o nosso. O raio desse cilindro gaussiano será , que pode ser menor ou maior que , dependendo de onde queremos calcular o campo elétrico.
Passo 4
Vamos calcular primeiro o campo elétrico dentro do cilindro, ou seja, quando . A densidade de carga é constante e igual a , então a carga dentro do cilindro gaussiano é:
onde é o comprimento do cilindro gaussiano.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano e é o campo elétrico que é o mesmo em todos os pontos devido à simetria.
Passo 6
Resolvendo para dentro do cilindro ():
Isso mostra que o campo elétrico aumenta linearmente com quando estamos dentro do cilindro.
Passo 7
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando . Nessa situação, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana. A carga total do cilindro de raio é:
Passo 8
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Passo 9
Resolvendo para fora do cilindro ():
Isso mostra que o campo elétrico diminui inversamente com quando estamos fora do cilindro.