Um dado excesso de carga positivo é distribuído por um volume cilíndrico muito longo de raio R de tal forma que a densidade de carga aumenta com a distância r ao eixo central do cilindro, de acordo com rho=alpha, em que alpha é uma constante. Determine as expressões para o campo elétrico em função de r (interna e externamente ao cilindro).

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro muito longo com raio R onde a densidade de carga positiva aumenta conforme a distância r do eixo central, seguindo rho = alpha. A missão aqui é descobrir como o campo elétrico varia com r, tanto dentro quanto fora desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática para calcular campos elétricos de distribuições de carga com certa simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática varepsilon0. Em fórmula:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0

Passo 3

Agora, como nosso cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial com o nosso. O raio desse cilindro gaussiano será r, que pode ser menor ou maior que R, dependendo de onde queremos calcular o campo elétrico.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o campo elétrico dentro do cilindro, ou seja, quando r < R. A densidade de carga é constante e igual a alpha, então a carga dentro do cilindro gaussiano é:
Qtotal = rho cdot volume = alpha cdot pi r^2 L
onde L é o comprimento do cilindro gaussiano.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = alpha pi r^2 Lvarepsilon0
Aqui, 2pi r L é a área lateral do cilindro gaussiano e E é o campo elétrico que é o mesmo em todos os pontos devido à simetria.

Passo 6

Resolvendo para E dentro do cilindro ( r < R):
E = alpha r2 varepsilon0
Isso mostra que o campo elétrico aumenta linearmente com r quando estamos dentro do cilindro.

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando r >= R. Nessa situação, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana. A carga total do cilindro de raio R é:
Qtotal = alpha cdot pi R^2 L

Passo 8

Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = alpha pi R^2 Lvarepsilon0

Passo 9

Resolvendo para E fora do cilindro ( r >= R):
E = alpha R^22 varepsilon0 r
Isso mostra que o campo elétrico diminui inversamente com r quando estamos fora do cilindro.

Resposta

O campo elétrico em função de r é dado por:
E(r) = alpha r2 varepsilon0 & para r < R alpha R^22 varepsilon0 r & para r >= R

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