Uma esfera condutora de 12 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido. a) Sabendose que o campo elétrico à distância de 9 cm do centro da esfera tem módulo igual a
e aponta radialmente para dentro, determine a carga líquida sobre a esfera. b) Determine a densidade superficial de carga máxima para que não seja rompida a rigidez dielétrica da esfera imersa no ar.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora com raio de 12 cm e uma carga desconhecida. Na letra a), nos dizem que o campo elétrico a uma distância de 9 cm do centro da esfera é igual a
e aponta para dentro. Precisamos descobrir qual é a carga líquida nessa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito básico: Lei de Gauss. Essa lei nos ajuda a relacionar o campo elétrico com a carga que gera esse campo. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
).
A fórmula da Lei de Gauss é:
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, é natural escolher uma superfície gaussiana esférica com raio de 9 cm (dentro da esfera condutora). Porém, em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero. Mas aqui a questão nos diz que há um campo elétrico de
apontando para dentro, o que indica que há uma carga líquida na esfera influenciando o campo dentro desse raio.
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Gauss. A superfície gaussiana tem raio
. O campo elétrico é constante em magnitude e direção sobre essa superfície, então a integral fica:
Onde:
Passo 5
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando por
:
- Finalmente, multiplicando por
:
Resposta
A carga líquida sobre a esfera é aproximadamente
.