Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura
sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é
e faz um ângulo de
acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como
:
Então:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo nessa questão. Temos um projétil que é lançado do topo de uma colina com altura
. A velocidade inicial do projétil é
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Queremos descobrir como a velocidade do projétil varia com o tempo, considerando a aceleração da gravidade
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento projetil e cinemática vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil nas direções horizontal (
) e vertical (
). A ideia é separar a velocidade em componentes que se movem independentemente uma da outra.
A componente horizontal da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
A componente vertical da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que temos as componentes da velocidade inicial, vamos usar a equação da cinemática vetorial para a velocidade em função do tempo. A equação geral é:
Aqui,
é a velocidade inicial e
é a aceleração. No nosso caso, a única aceleração atuando é a gravidade, que age na direção vertical (eixo
), então:
A componente horizontal da aceleração é zero porque não há resistência do ar.
Passo 4
Vamos agora aplicar essa equação para as componentes
e
separadamente.
Na direção
:
Como
, temos:
Na direção
:
Passo 5
Finalmente, juntamos as componentes
e
para obter a velocidade vetorial total em função do tempo:
Resposta
A velocidade do projétil em função do tempo é: