Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura h=200 m sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é vP=60,0 m / s e faz um ângulo de theta=60,0^circ acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como g=9,80 m / s^2 :
v(t)=v0+a t (1 ponto)
Então:
v(t)=30,0 i+(51,96-9,80 t) j m / s (2 pontos )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo nessa questão. Temos um projétil que é lançado do topo de uma colina com altura h = 200, m. A velocidade inicial do projétil é vP = 60,0, m/s, fazendo um ângulo de theta = 60,0^circ com a horizontal. Queremos descobrir como a velocidade do projétil varia com o tempo, considerando a aceleração da gravidade g = 9,80, m/s^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento projetil e cinemática vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil nas direções horizontal ( x) e vertical ( y). A ideia é separar a velocidade em componentes que se movem independentemente uma da outra.
A componente horizontal da velocidade ( v0x) é dada por:
v0x = vP cdot cos(theta)
Substituindo os valores:
v0x = 60,0, m/s cdot cos(60,0^circ) = 60,0, m/s cdot 0,5 = 30,0, m/s
A componente vertical da velocidade ( v0y) é dada por:
v0y = vP cdot sin(theta)
Substituindo os valores:
v0y = 60,0, m/s cdot sin(60,0^circ) approx 60,0, m/s cdot 0,8660 approx 51,96, m/s

Passo 3

Agora que temos as componentes da velocidade inicial, vamos usar a equação da cinemática vetorial para a velocidade em função do tempo. A equação geral é:
v(t) = v0 + a cdot t
Aqui, v0 é a velocidade inicial e a é a aceleração. No nosso caso, a única aceleração atuando é a gravidade, que age na direção vertical (eixo y), então:
a = -g cdot j = -9,80, m/s^2 cdot j
A componente horizontal da aceleração é zero porque não há resistência do ar.

Passo 4

Vamos agora aplicar essa equação para as componentes x e y separadamente.
Na direção x:
vx(t) = v0x + ax cdot t
Como ax = 0, temos:
vx(t) = 30,0, m/s
Na direção y:
vy(t) = v0y + ay cdot t = 51,96, m/s - 9,80, m/s^2 cdot t

Passo 5

Finalmente, juntamos as componentes x e y para obter a velocidade vetorial total em função do tempo:
v(t) = vx(t) cdot i + vy(t) cdot j = 30,0, i + (51,96 - 9,80, t) j, m/s

Resposta

A velocidade do projétil em função do tempo é:
v(t) = 30,0, i + (51,96 - 9,80, t), j, m/s

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