Dado que é uma função diferenciável, e , use uma aproximação linear para estimar o valor

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função diferenciável e algumas informações sobre ela no ponto . Especificamente, sabemos que:
  • A derivada parcial em relação a no ponto é
  • A derivada parcial em relação a no ponto é
O que a questão pede é para usarmos uma aproximação linear para estimar o valor de em outro ponto, que parece ser . Acho que há um pequeno erro de formatação aí, mas vamos supor que o ponto que queremos estimar seja .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação linear. Basicamente, quando temos uma função diferenciável, podemos aproximar seu comportamento perto de um ponto usando uma reta (no caso de funções de uma variável) ou um plano (para funções de duas variáveis). Essa aproximação é feita usando a tangente à função naquele ponto.
Para funções de duas variáveis, a aproximação linear em torno do ponto é dada por:
Isso significa que para estimar em um ponto próximo a , usamos essa fórmula.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • Ponto de interesse:
  • Valores conhecidos:
Queremos estimar . Vamos identificar:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
Então:

Resposta

Aproximadamente, .

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