Use a regra da cadeia para achar partial z / partial t.
(a) z=x^2+y^2+x y, x= sent, y=e^t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial de em relação a usando a regra da cadeia. Aqui, temos a função , onde e . Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para calcular .

Passo 2

Primeiro, identificamos que partial zpartial t = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt é uma função de e , que por sua vez são funções de . A regra da cadeia nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y em relação a partial zpartial y = 2y + x e :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de dxdt = ddt (sin t) = cos t e dydt = ddt (e^t) = e^t em relação a :

Passo 5

Substituímos todas as derivadas encontradas na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial t = (2x + y) cdot cos t + (2y + x) cdot e^t

Passo 6

Agora, substituímos partial zpartial t = [2sin t + e^t] cdot cos t + [2e^t + sin t] cdot e^t e na expressão:

Passo 7

Simplificamos a expressão:
partial zpartial t = 2sin t cos t + e^t cos t + 2e^2t + sin t cdot e^t

Resposta

partial zpartial t = 2sin t cos t + e^t cos t + 2e^2t + sin t cdot e^t

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