Use a regra da cadeia para achar partial z / partial t.
(b) z=cos (x+4 y), x=5 t^4 y=1t

Passo 1

Vamos lá! Temos a função , onde e . Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas intermediárias.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de partial zpartial x = -sin(x + 4y) em relação a partial zpartial y = -4sin(x + 4y) e . A regra da cadeia nos diz que precisamos dessas derivadas para depois combiná-las.

Passo 3

Agora, vamos derivar dxdt = 20t^3 e dydt = -1t^2 em relação a , já que ambas são funções de .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada parcial de partial zpartial t = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt em relação a partial zpartial t = (-sin(x + 4y)) cdot 20t^3 + (-4sin(x + 4y)) cdot (-1t^2) é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
partial zpartial t = -20t^3sin(x + 4y) + 4t^2sin(x + 4y)
Podemos fatorar partial zpartial t = sin(x + 4y) ( -20t^3 + 4t^2 ) :
x + 4y = 5t^4 + 4t
E substituindo e em termos de :

Resposta

A derivada parcial partial zpartial t = sin(5t^4 + 4t) ( -20t^3 + 4t^2 ) é:

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