Dado f(x) = (1/3) x^3 - 2 x^2 + 3 x + 1. Encontre os
pontos do gráfico de f nos quais a tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos no gráfico da função onde a tangente é horizontal. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o estudo das derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero, já que a inclinação horizontal corresponde a derivada zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Para , aplicamos as regras de derivação termo a termo:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , queremos encontrar onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a tangente à curva é horizontal (ou seja, a inclinação é 0). Então, resolvemos a equação:
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que encontramos os valores de onde a derivada é zero ( e ), vamos encontrar as coordenadas completas dos pontos correspondentes substituindo esses valores na função original .
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos no gráfico de onde a tangente é horizontal são e .

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