Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=3 x^3-x no ponto a=2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função f^prime(a) = lim h 0 f(a+h) - f(a)h no ponto usando o limite do quociente de Newton. A derivada nos mostra a taxa de variação da função nesse ponto específico. Para isso, vamos usar a fórmula:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(2) = 3(2)^3 - 2 = 3 times 8 - 2 = 24 - 2 = 22 na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(2 + h) = 3(2 + h)^3 - (2 + h) :
(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3
Para facilitar, vamos expandir f(2 + h) = 3(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 2 - h = 24 + 36h + 18h^2 + 3h^3 - 2 - h = 22 + 35h + 18h^2 + 3h^3 :
Então,

Passo 4

Agora, vamos montar o quociente de Newton:
f(2 + h) - f(2)h = 22 + 35h + 18h^2 + 3h^3 - 22h = 35h + 18h^2 + 3h^3h
Simplificando dividindo cada termo por 35 + 18h + 3h^2 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando f^prime(2) = lim h 0 (35 + 18h + 3h^2) = 35 + 0 + 0 = 35 tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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