Dado a função de onda:
e
.
e) Qual o desvio padrão médio do momento? Mostre que o princípio de incerteza não é violado.
e) Qual o desvio padrão médio do momento? Mostre que o princípio de incerteza não é violado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda dada por:
Aqui,
e
é um número real. O que a gente quer encontrar é o desvio padrão médio do momento dessa partícula e mostrar que isso não quebra o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente cálculo de expectativas de operadores e a definição do desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o desvio padrão do momento,
, é dado por:
Aqui,
é o valor esperado do operador momento, e
é o valor esperado do quadrado do operador momento. O operador momento na representação de posição é:
Então, precisamos calcular
e
usando a função de onda
.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro:
Como
é real (exceto pelo
, mas isso também é real se
for real), podemos simplificar para:
No entanto, devido à simetria da função e da derivada, esse valor acaba sendo zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Isso envolve calcular a segunda derivada de
e integrar com
. Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e integrais de funções exponenciais e trigonométricas), encontramos um valor para
.
Passo 5
Com os valores de
e
calculado, fica:
Então, o desvio padrão do momento é a raiz quadrada do valor esperado de
.
Passo 6
Por fim, para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, lembramos que:
Calculando
a partir da função de onda e multiplicando pelo
que obtivemos, veremos que o produto atende essa desigualdade, ou seja, o princípio não é violado.
Resposta
O desvio padrão médio do momento é
, e ao calcular
confirma-se que o princípio de incerteza de Heisenberg não é violado.