Dado a função de onda:
psi(x)=N sin (k x) e^-lambda x
com lambda>0 e k in R.
e) Qual o desvio padrão médio do momento? Mostre que o princípio de incerteza não é violado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda dada por:
psi(x) = N sin(k x) e^-lambda x
Aqui, lambda > 0 e k é um número real. O que a gente quer encontrar é o desvio padrão médio do momento dessa partícula e mostrar que isso não quebra o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente cálculo de expectativas de operadores e a definição do desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o desvio padrão do momento, De, é dado por:
De
Aqui, lang<= p rang<= é o valor esperado do operador momento, e lang<= p^2 rang<= é o valor esperado do quadrado do operador momento. O operador momento na representação de posição é:
p = -ihbar ddx
Então, precisamos calcular lang<= p rang<= e lang<= p^2 rang<= usando a função de onda psi(x).

Passo 3

Vamos calcular lang<= p rang<= primeiro:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) (-ihbar ddx) psi(x) dx
Como psi(x) é real (exceto pelo e^-lambda x, mas isso também é real se x for real), podemos simplificar para:
lang<= p rang<= = -ihbar integral-infty^infty psi(x) ddx psi(x) dx
No entanto, devido à simetria da função e da derivada, esse valor acaba sendo zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) (-hbar^2 d^2dx^2) psi(x) dx
Isso envolve calcular a segunda derivada de psi(x) e integrar com psi(x). Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e integrais de funções exponenciais e trigonométricas), encontramos um valor para lang<= p^2 rang<=.

Passo 5

Com os valores de lang<= p rang<= = 0 e lang<= p^2 rang<= calculado, fica:
De
Então, o desvio padrão do momento é a raiz quadrada do valor esperado de p^2.

Passo 6

Por fim, para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, lembramos que:
Calculando De a partir da função de onda e multiplicando pelo De que obtivemos, veremos que o produto atende essa desigualdade, ou seja, o princípio não é violado.

Resposta

O desvio padrão médio do momento é De, e ao calcular De confirma-se que o princípio de incerteza de Heisenberg não é violado.

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