Dado a função de onda:
e .
e) Qual o desvio padrão médio do momento? Mostre que o princípio de incerteza não é violado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda dada por:
Aqui, e é um número real. O que a gente quer encontrar é o desvio padrão médio do momento dessa partícula e mostrar que isso não quebra o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente cálculo de expectativas de operadores e a definição do desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o desvio padrão do momento, , é dado por:
Aqui, é o valor esperado do operador momento, e é o valor esperado do quadrado do operador momento. O operador momento na representação de posição é:
Então, precisamos calcular e usando a função de onda .

Passo 3

Vamos calcular primeiro:
Como é real (exceto pelo , mas isso também é real se for real), podemos simplificar para:
No entanto, devido à simetria da função e da derivada, esse valor acaba sendo zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Isso envolve calcular a segunda derivada de e integrar com . Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e integrais de funções exponenciais e trigonométricas), encontramos um valor para .

Passo 5

Com os valores de e calculado, fica:
Então, o desvio padrão do momento é a raiz quadrada do valor esperado de .

Passo 6

Por fim, para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, lembramos que:
Calculando a partir da função de onda e multiplicando pelo que obtivemos, veremos que o produto atende essa desigualdade, ou seja, o princípio não é violado.

Resposta

O desvio padrão médio do momento é , e ao calcular confirma-se que o princípio de incerteza de Heisenberg não é violado.

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Dado a função de onda:
e .
a) Encontre a normalização dessa função de onda
Dado o vetor de estado normalizado:
com
c) Dado o operador , qual o valor médio desse operador no estado ?
Dado a função de onda:
e .
d) Qual o desvio padrão médio da posição?
Dois nanofios de cobre são isolados por uma camada de óxido de cobre que fornece uma barreira potencial de 10,0 eV. Estimar a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons de através de uma camada de óxido de de espessura. E se a espessura da camada fosse reduzida para apenas ? E se a energia dos elétrons fosse aumentada para ?