Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O que precisamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que nos ajuda a resolver esse tipo de equação transformando-a no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e para funções do tipo polinomial e exponencial com cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo que (já que não foi dado), temos:

Passo 3

Vamos simplificar o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, transformamos o lado direito da equação . Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Colocando tudo junto na equação transformada:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Vamos fatorar o denominador:

Passo 8

Agora, fazemos uma decomposição em frações parciais para simplificar e poder aplicar a Transformada de Laplace inversa. Isso envolve quebrar a fração em termos mais simples que a gente conhece a inversa.

Passo 9

Após realizar a decomposição e simplificar, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar . Isso envolve usar tabelas de transformadas e propriedades para voltar ao domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Observação: A forma completa da solução requer cálculos adicionais de frações parciais e aplicação detalhada da Transformada inversa, que resultam nos termos particulares completando a solução geral.

Exercícios relacionados

Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Dado que , demonstre que
e
Descreva o domínio de fe encontre os valores funcionais indicados:
a)
b)
c)
d)
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d)
R.: e