Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos e , as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função para esboçar o gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e transformações de gráficos, além de entender como o valor absoluto e a raiz quadrada afetam o gráfico. Então, vamos precisar saber sobre funções básicas, manipulação de gráficos e análise de comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função básica que estamos lidando. A função é uma função raiz quadrada aplicada ao valor absoluto de . O gráfico dessa função é parecido com a parte superior de um “V”, começando no ponto (0,0) e subindo para a direita e para a esquerda.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . O que mudou aqui foi o termo dentro do valor absoluto: em vez de , temos . Esse “+2” dentro do valor absoluto indica uma translação horizontal do gráfico.

Passo 4

A translação que ocorre é um deslocamento de 2 unidades para a esquerda. Isso significa que, onde antes o “V” começava no ponto (0,0), agora começa no ponto (-2,0).

Passo 5

Vamos identificar as intersecções com os eixos. Para a intersecção com o eixo y, basta calcular :
Então, a intersecção com o eixo y está no ponto (0, ).
Para encontrar as intersecções com o eixo x, resolvemos :
Então, a intersecção com o eixo x está no ponto (-2, 0).

Passo 6

Vamos analisar onde a função é positiva ou negativa. A raiz quadrada sempre dá resultados não negativos, e o valor absoluto também é sempre não negativo. Portanto, é sempre maior ou igual a zero:
  • para todo
  • Não existem valores de onde é negativo.

Passo 7

Agora, vamos ver onde a função é crescente ou decrescente. Observando o gráfico em forma de “V” invertido:
  • Para , à medida que aumenta (mas ainda é menor que -2), diminui.
  • Para , à medida que aumenta, também aumenta.
  • No ponto , a função atinge o valor mínimo de 0.

Passo 8

Finalmente, vamos juntar tudo para esboçar o gráfico:
  • O ponto de virada está em (-2, 0).
  • A intersecção com o eixo y está em (0, ).
  • A função é sempre positiva.
  • É decrescente antes de e crescente depois.

Resposta

O gráfico de é uma parábola em forma de “V” invertido, com vértice em (-2, 0), interseções nos pontos (-2, 0) e (0, ). A função é positiva para todo , decrescente para e crescente para .

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo encontre , e , sendo :
e)
Para as seguintes funções , decomponha-a como compostas de funções mais simples
m)
Dado resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função definida por para é dada por
Dado , mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por