Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos
e
, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
para esboçar o gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e transformações de gráficos, além de entender como o valor absoluto e a raiz quadrada afetam o gráfico. Então, vamos precisar saber sobre funções básicas, manipulação de gráficos e análise de comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função básica que estamos lidando. A função
é uma função raiz quadrada aplicada ao valor absoluto de
. O gráfico dessa função é parecido com a parte superior de um “V”, começando no ponto (0,0) e subindo para a direita e para a esquerda.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. O que mudou aqui foi o termo dentro do valor absoluto: em vez de
, temos
. Esse “+2” dentro do valor absoluto indica uma translação horizontal do gráfico.
Passo 4
A translação que ocorre é um deslocamento de 2 unidades para a esquerda. Isso significa que, onde antes o “V” começava no ponto (0,0), agora começa no ponto (-2,0).
Passo 5
Vamos identificar as intersecções com os eixos. Para a intersecção com o eixo y, basta calcular
:
Então, a intersecção com o eixo y está no ponto (0,
).
Para encontrar as intersecções com o eixo x, resolvemos
:
Então, a intersecção com o eixo x está no ponto (-2, 0).
Passo 6
Vamos analisar onde a função é positiva ou negativa. A raiz quadrada sempre dá resultados não negativos, e o valor absoluto também é sempre não negativo. Portanto,
é sempre maior ou igual a zero:
-
para todo - Não existem valores de
onde é negativo.
Passo 7
Agora, vamos ver onde a função é crescente ou decrescente. Observando o gráfico em forma de “V” invertido:
- Para
, à medida que aumenta (mas ainda é menor que -2), diminui. - Para
, à medida que aumenta, também aumenta. - No ponto
, a função atinge o valor mínimo de 0.
Passo 8
Finalmente, vamos juntar tudo para esboçar o gráfico:
- O ponto de virada está em (-2, 0).
- A intersecção com o eixo y está em (0,
). - A função é sempre positiva.
- É decrescente antes de
e crescente depois.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola em forma de “V” invertido, com vértice em (-2, 0), interseções nos pontos (-2, 0) e (0,
). A função é positiva para todo
, decrescente para
e crescente para
.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
e)
e)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
m)
m)
Dado
resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função definida por
para
é dada por
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
Dado
, mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por