Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura ao longo de uma parede com 1 m de espessura é dada por:
T(x)=a+b x+c x^2
onde T está em ^circ C e x está em metros, enquanto a=900^circ C, b=-300^circ C / m e c=-50^circ C / m^2. Uma geração de calor uniforme de 1000 W / m^3 está presente na parede, cuja área é de 10 m^2. O seu material possui as seguintes propriedades: rho=1600 kg / m^3, k=40 W / m / K e Cp=4 kJ / kg / K.
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede e que deixa a parede.
b) Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede.
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x=0 ; 0,25 e 0,5 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma parede de 1 metro de espessura com uma distribuição de temperatura dada por , onde , e . Além disso, tem uma geração de calor uniforme de na parede com área de . As propriedades do material são: densidade , condutividade térmica e capacidade calorífica . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e conservação de energia para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): determinar a taxa de transferência de calor que entra e que sai da parede. Para isso, vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
q = -k dTdx
Essa equação nos diz como o calor flui através de um material em função do gradiente de temperatura.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da temperatura T(x) = a + b x + c x^2 . A função dada é:
dTdx = b + 2c x
Calculando a primeira derivada em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Fourier, a taxa de transferência de calor q(x) = -k ( b + 2c x ) em função de é:
Vamos calcular nos extremos da parede, ou seja, em e metro, para encontrar as taxas de calor que entram e saem da parede.

Passo 5

Primeiro, para q(0) = -k ( b + 2c cdot 0 ) = -k b :
q(0) = -40 cdot (-300) = 12000 W/m^2
Substituindo os valores:
Então, a taxa de calor que entra na parede é .

Passo 6

Agora, para q(1) = -k ( b + 2c cdot 1 ) = -k (b + 2c) metro:
q(1) = -40 ( -300 + 2 cdot (-50) ) = -40 (-300 -100) = -40 cdot (-400) = 16000 W/m^2
Substituindo os valores:
Então, a taxa de calor que sai da parede é .

Passo 7

Resposta da parte a):
A taxa de transferência de calor que entra na parede é e que sai da parede é .

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