Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura ao longo de uma parede com
de espessura é dada por:
onde
está em
e
está em metros, enquanto
e
. Uma geração de calor uniforme de
está presente na parede, cuja área é de
. O seu material possui as seguintes propriedades:
e
.
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede e que deixa a parede.
b) Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede.
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições
e 0,5 m.
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede e que deixa a parede.
b) Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede.
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma parede de 1 metro de espessura com uma distribuição de temperatura dada por
, onde
,
e
. Além disso, tem uma geração de calor uniforme de
na parede com área de
. As propriedades do material são: densidade
, condutividade térmica
e capacidade calorífica
. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e conservação de energia para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): determinar a taxa de transferência de calor que entra e que sai da parede. Para isso, vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
Essa equação nos diz como o calor flui através de um material em função do gradiente de temperatura.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da temperatura
. A função dada é:
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Fourier, a taxa de transferência de calor
em função de
é:
Vamos calcular
nos extremos da parede, ou seja, em
e
metro, para encontrar as taxas de calor que entram e saem da parede.
Passo 5
Primeiro, para
:
Substituindo os valores:
Então, a taxa de calor que entra na parede é
.
Passo 6
Agora, para
metro:
Substituindo os valores:
Então, a taxa de calor que sai da parede é
.
Passo 7
Resposta da parte a):
A taxa de transferência de calor que entra na parede é e que sai da parede é
.
A taxa de transferência de calor que entra na parede é