É dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|
c) lim x 5 x^2=25, varepsilon=0,5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o limite quando se aproxima de 5 para a função é 25. A gente precisa encontrar um número tal que, se estiver a menos de de 5 (mas diferente de 5), então estará a menos de de 25. Vamos usar a definição de limite, que basicamente conecta e para garantir que a função se aproxime do limite desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que precisamos: queremos que |x^2 - 25| < 0,5 . No nosso caso, isso fica:
Nosso objetivo é encontrar tal que isso aconteça sempre que .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |x^2 - 25| = |x - 5||x + 5| . Sabemos que:
|x - 5||x + 5| < 0,5
Então, queremos que:
x in (5 - 1, 5 + 1) Rightarrow x in (4, 6)
Para facilitar, vamos tentar limitar |x + 5| <= |6 + 5| = 11 . Se assumirmos que , então:
Dessa forma, fica:

Passo 4

Agora que sabemos que |x - 5| cdot 11 < 0,5 , podemos substituir de volta na nossa desigualdade:
|x - 5| < 0,511 approx 0,04545
Resolvendo para :
Então, para garantir que , precisamos que .

Resposta

Um valor adequado é .

Exercícios relacionados

Sejam f(x), g(x) e h(x) as funções definidas pelos gráficos.
b) Intuitivamente, encontrar se existir:
i) lim x +infty g(x)= vi) g(-2)=
ii) lim x 4 g(x)= vii) lim x -2^+ g(x)=
iii) lim x 2^+ g(x)= viii) lim x -2^- g(x)=
iv) lim x 2^- g(x)= ix) g(-6)=
v) g(2)= x) lim x -infty g(x)=
Determinar a função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa.
a) y = f(x) = 1 / raiz(pi - x), x < pi
Calcular os limites, se existir.
d) lim x 1 (x-1)^2raiz[3]x^2-2 raiz[3]x+1
Resolva.
c) Se f(x) = 1/x^2, mostrar que f(1+h) - f(1) = -h(2+h) / (1+h)^2.