Dado o limite
lim x 3 x^100-3 x^99x^99-3 x^98
determine qual das alternativas é a correta:
a) O resultado do limite pertence ao intervalo (0,1);
b) O resultado do limite pertence ao intervalo (1,2);
c) O resultado do limite pertence ao intervalo (2,3);
d) O resultado do limite pertence ao intervalo (3,4);
e) NDA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular:
lim x 3 x^100-3 x^99x^99-3 x^98
Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, envolvendo potências de . Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com expoentes grandes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
A ideia é fatorar esses termos para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar x^100 - 3x^99x^99 - 3x^98 = x^99(x - 3)x^98(x - 3) do numerador e do denominador:

Passo 4

Agora, vemos que x^99(x - 3)x^98(x - 3) = x^99x^98 = x^1 = x aparece em cima e embaixo, então podemos cancelar:
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 5

Agora, o limite fica bem mais fácil:
lim x 3 x = 3
Então, o valor do limite é exatamente 3.

Resposta

O resultado do limite é 3, que pertence ao intervalo (3,4). Portanto, a alternativa correta é a d).

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