Dado n in N, prove que não existe x in N tal que n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: Dado , prove que não existe tal que . Basicamente, a gente precisa mostrar que não tem número natural entre e . Para isso, vamos usar conceitos de números naturais e suas propriedades de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o conjunto dos números naturais, que são . Esses números são consecutivos, ou seja, cada número é exatamente 1 unidade maior que o anterior.

Passo 3

Agora, consideremos sendo qualquer número natural. Isso significa que também é um número natural, pois a soma de dois números naturais é natural.

Passo 4

Vamos supor, para fins de contradição, que existe um tal que . Ou seja, seria um número natural maior que e menor que .

Passo 5

No entanto, sabemos que entre dois números naturais consecutivos, como e , não há nenhum outro número natural. Isso porque a diferença entre eles é exatamente 1, e não existem números naturais “meio” entre esses valores.

Passo 6

Portanto, nossa suposição de que existe um natural entre e leva a uma contradição, já que sabemos que não há números naturais intermediários nesse intervalo.

Resposta

Assim, concluímos que não existe tal que .

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