Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo: ;
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas descritas pelas equações fornecidas. Isso envolve trabalhar com elipses, que são figuras geométricas bem legais da matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender os elementos básicos de uma elipse, como o centro, os eixos maior e menor, e os vértices. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
Essa é a equação padrão de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse é:
Onde:
  • é o centro da elipse.
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.

Passo 3

Comparando nossa equação com a forma padrão, podemos identificar os valores:
  • então
  • então
Então, o centro da elipse está no ponto , o semi-eixo maior tem comprimento 3 e o semi-eixo menor tem comprimento 2.

Passo 4

Agora, vamos determinar a orientação da elipse. Como está debaixo de , isso significa que o eixo maior está na direção do eixo . Portanto, a elipse se estende mais ao longo do eixo do que do eixo .

Passo 5

Com essas informações, podemos identificar os vértices da elipse. Como o eixo maior está no eixo :
  • Vértice à direita do centro:
  • Vértice à esquerda do centro:
E os vértices do eixo menor:
  • Vértice acima do centro:
  • Vértice abaixo do centro:

Passo 6

Além disso, o ponto mencionado no enunciado parece ser um ponto adicional que devemos considerar no esboço da elipse. Vamos verificar se esse ponto está na elipse substituindo e na equação:
Como , o ponto não está na elipse. Isso significa que devemos apenas focar na elipse para o esboço.

Resposta

Então, resumindo tudo, a elipse tem centro em , com semi-eixo maior de comprimento 3 na direção do eixo e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção do eixo . Os vértices são , , e . Com essas informações, podemos esboçar a elipse no plano cartesiano, garantindo que ela se estenda corretamente nos pontos mencionados.

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d) .
Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo: ; Sip