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Seja a transformação linear definida por . Mostre que se núcleo é e conclua que para todo polinômio existe um polinômio tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até com coeficientes reais. A transformação é definida por , onde é a derivada de e a segunda derivada. Nosso objetivo é mostrar que o núcleo dessa transformação é apenas o polinômio zero e, a partir disso, concluir que para qualquer polinômio , existe um polinômio que satisfaz a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios em que satisfazem . Ou seja,
Nosso primeiro objetivo é mostrar que a única solução para essa equação é .

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolvê-la, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação:
Podemos dividir todos os termos por (já que ):
Essa é uma equação quadrática em .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante :
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Portanto, as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares de e .

Passo 5

No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios com coeficientes reais . As soluções com partes imaginárias implicam que a única solução polinomial possível é . Isso porque não há polinômios não nulos cuja derivada e segunda derivada possam combinar para dar zero com os coeficientes reais dados.
Portanto, o núcleo de é apenas o conjunto que contém o polinômio zero:

Passo 6

Agora, sabemos que se o núcleo de uma transformação linear é apenas o vetor zero, então é injetora (ou seja, um mapeamento um-para-um). Além disso, se e têm a mesma dimensão e é injetora, então também é sobrejetora (cobre todo ).
No nosso caso, tem núcleo , então é injetora e, como os espaços têm a mesma dimensão, é bijetora.

Passo 7

Como é bijetora, para todo polinômio em , existe um único polinômio em tal que:
Isso conclui que a equação possui uma solução para qualquer no espaço dos polinômios considerado.

Resposta

Portanto, mostramos que o núcleo de é e que para todo polinômio existe um polinômio tal que .

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dip