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Seja
a transformação linear definida por
. Mostre que se núcleo é
e conclua que para todo polinômio
existe um polinômio
tal que
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até
com coeficientes reais. A transformação
é definida por
, onde
é a derivada de
e
a segunda derivada. Nosso objetivo é mostrar que o núcleo dessa transformação é apenas o polinômio zero e, a partir disso, concluir que para qualquer polinômio
, existe um polinômio
que satisfaz a equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo
é o conjunto de todos os polinômios
em
que satisfazem
. Ou seja,
Nosso primeiro objetivo é mostrar que a única solução para essa equação é
.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolvê-la, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação:
Podemos dividir todos os termos por
(já que
):
Essa é uma equação quadrática em
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Portanto, as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares de
e
.
Passo 5
No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios com coeficientes reais
. As soluções com partes imaginárias implicam que a única solução polinomial possível é
. Isso porque não há polinômios não nulos cuja derivada e segunda derivada possam combinar para dar zero com os coeficientes reais dados.
Portanto, o núcleo de
é apenas o conjunto que contém o polinômio zero:
Passo 6
Agora, sabemos que se o núcleo de uma transformação linear
é apenas o vetor zero, então
é injetora (ou seja, um mapeamento um-para-um). Além disso, se
e
têm a mesma dimensão e
é injetora, então
também é sobrejetora (cobre todo
).
No nosso caso,
tem núcleo
, então
é injetora e, como os espaços têm a mesma dimensão,
é bijetora.
Passo 7
Como
é bijetora, para todo polinômio
em
, existe um único polinômio
em
tal que:
Isso conclui que a equação
possui uma solução para qualquer
no espaço dos polinômios considerado.
Resposta
Portanto, mostramos que o núcleo de
é
e que para todo polinômio
existe um polinômio
tal que
.
Exercícios relacionados
Se
e
são pontos distintos de uma circunferência e
é um diâmetro, mostre que o triângulo
é um triângulo retângulo.
Usando indução, prove:
.
Dado
, prove que não existe
tal que
.
Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo:
;
dip
dip