Dado , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para todo número inteiro positivo , a integral de de 0 a 1 é igual a . Vamos usar técnicas de cálculo, especificamente integração e propriedades de funções logarítmicas, para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos: . Aqui, está elevado à potência . Para integrar isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar , então ou . Mas como temos , essa substituição pode não ser direta. Vamos tentar uma técnica diferente: expandir e integrar termo a termo.

Passo 3

Na verdade, uma abordagem mais eficiente é usar a expansão em série ou a definição do fatorial. Vamos lembrar que . Também, sabemos que a função pode ser tratada de maneira especial quando integrada. Vamos considerar a definição de fatorial e propriedades de integrais para manipular a expressão.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição mais adequada. Definimos , então quando , e quando , tende ao infinito. Calculando :
Agora, substituindo na integral:

Passo 5

Sabemos que a partir da substituição . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Reconhecemos essa integral como a definição da função fatorial para números reais, conhecida como a função gama:
Aqui, , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral original, temos que:
Isso porque é negativo no intervalo de 0 a 1, e ao elevar à potência , obtemos o fator .

Resposta

A integral é igual a .

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