Dado
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para todo número inteiro positivo
, a integral de
de 0 a 1 é igual a
. Vamos usar técnicas de cálculo, especificamente integração e propriedades de funções logarítmicas, para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
. Aqui,
está elevado à potência
. Para integrar isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar
, então
ou
. Mas como temos
, essa substituição pode não ser direta. Vamos tentar uma técnica diferente: expandir
e integrar termo a termo.
Passo 3
Na verdade, uma abordagem mais eficiente é usar a expansão em série ou a definição do fatorial. Vamos lembrar que
. Também, sabemos que a função
pode ser tratada de maneira especial quando integrada. Vamos considerar a definição de fatorial e propriedades de integrais para manipular a expressão.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição mais adequada. Definimos
, então quando
,
e quando
,
tende ao infinito. Calculando
:
Agora, substituindo na integral:
Passo 5
Sabemos que
a partir da substituição
. Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Reconhecemos essa integral como a definição da função fatorial para números reais, conhecida como a função gama:
Aqui,
, então:
Passo 7
Voltando à nossa integral original, temos que:
Isso porque
é negativo no intervalo de 0 a 1, e ao elevar à potência
, obtemos o fator
.
Resposta
A integral é igual a
.
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