Dado n=1,2,3, ldots, mostre que
integral0^1(x ln x)^n d x=(-1)^n n!(n+1)^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para todo número inteiro positivo , a integral de de 0 a 1 é igual a . Vamos usar técnicas de cálculo, especificamente integração e propriedades de funções logarítmicas, para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos: . Aqui, está elevado à potência . Para integrar isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar , então ou . Mas como temos , essa substituição pode não ser direta. Vamos tentar uma técnica diferente: expandir e integrar termo a termo.

Passo 3

Na verdade, uma abordagem mais eficiente é usar a expansão em série ou a definição do fatorial. Vamos lembrar que . Também, sabemos que a função pode ser tratada de maneira especial quando integrada. Vamos considerar a definição de fatorial e propriedades de integrais para manipular a expressão.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição mais adequada. Definimos dt = -1x dx implies dx = -x dt , então quando integral0^1 (x ln x)^n dx = integralinfty^0 (x (-t))^n (-x dt) = integral0^infty x^n+1 t^n dt , e quando , tende ao infinito. Calculando :
Agora, substituindo na integral:

Passo 5

Sabemos que integral0^infty (e^-t)^n+1 t^n dt = integral0^infty e^-(n+1)t t^n dt a partir da substituição . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Reconhecemos essa integral como a definição da função fatorial para números reais, conhecida como a função gama:
Gamma(n+1) = integral0^infty e^-kt t^n dt = n!k^n+1
Aqui, integral0^infty e^-(n+1)t t^n dt = n!(n+1)^n+1 , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral original, temos que:
integral0^1 (x ln x)^n dx = (-1)^n n!(n+1)^n+1
Isso porque é negativo no intervalo de 0 a 1, e ao elevar à potência , obtemos o fator .

Resposta

A integral é igual a .

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