Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)
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Passo 1
Vamos resolver a integral
, onde
. Esse exercício utiliza a Função Gamma, que faz parte da matéria de cálculo integral e funções especiais. Para resolver, precisamos entender o que é a Função Gamma e como aplicá-la em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Portanto, a integral fica:
Como
é positivo no intervalo de integração (já que
), podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução da integral. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Reconhecemos que a integral resultante é a definição da Função Gamma:
A Função Gamma generaliza o fatorial para números reais, onde
para
inteiro positivo.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Dado
, mostre que
Usando a Função Gamma, mostre que
Usando a Função Gamma, mostre que
Determine
onde
e
.