Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i) integral0^1[ln (1x)]^p-1 d x, p>0

Passo 1

Vamos resolver a integral , onde . Esse exercício utiliza a Função Gamma, que faz parte da matéria de cálculo integral e funções especiais. Para resolver, precisamos entender o que é a Função Gamma e como aplicá-la em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
ln(1x) = -ln(x)
Portanto, a integral fica:
integral0^1 [-ln(x)]^p-1 dx
Como integral0^1 [ln(1x)]^p-1 dx = integral0^1 (-ln(x))^p-1 dx é positivo no intervalo de integração (já que ), podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução da integral. Seja:
t = -ln(x)
Então, derivando ambos os lados em relação a dt = -1x dx Rightarrow dx = -x , dt = -e^-t dt :
integral0^1 (-ln(x))^p-1 dx = integral0^infty t^p-1 e^-t dt
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 4

Reconhecemos que a integral resultante é a definição da Função Gamma:
Gamma(p) = integral0^infty t^p-1 e^-t dt
A Função Gamma generaliza o fatorial para números reais, onde para inteiro positivo.

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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