Usando a Função Gamma, mostre que
integral0^infty x^m e^-a x^n d x=Gamma(m+1n)n a^m+1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral é igual a . Esse exercício cai no assunto de Cálculo Integral, usando a Função Gamma. Vamos precisar usar uma substituição para transformar a integral em uma forma que a Função Gamma reconheça.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Com isso, precisamos achar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de dt = a n x^n-1 dx Rightarrow dx = dta n x^n-1 em relação a x = (ta)^1/n :
Mas como , podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo integral0^infty x^m e^-a x^n dx = integral0^infty (ta)^m/n e^-t cdot dta n (ta)^(n-1)/n e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos:
(ta)^m/n cdot (ta)^-(n-1)/n = (ta)^(m - (n-1))/n = (ta)^(m+1)/n -1
E a integral fica:

Passo 6

Reconhecendo a definição da Função Gamma:
Gamma(z) = integral0^infty t^z-1 e^-t dt
Portanto, a integral se torna:
Gamma(m+1n)n a^m+1n

Resposta

integral0^infty x^m e^-a x^n dx = Gamma(m+1n)n a^m+1n

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