Usando a Função Gamma, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral
é igual a
. Esse exercício cai no assunto de Cálculo Integral, usando a Função Gamma. Vamos precisar usar uma substituição para transformar a integral em uma forma que a Função Gamma reconheça.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Com isso, precisamos achar
em termos de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Mas como
, podemos resolver para
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando os termos:
E a integral fica:
Passo 6
Reconhecendo a definição da Função Gamma:
Portanto, a integral se torna:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
g)
g)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
d)
d)
Dado
, mostre que
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)
i)