Usando a Função Gamma, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral é igual a . Esse exercício cai no assunto de Cálculo Integral, usando a Função Gamma. Vamos precisar usar uma substituição para transformar a integral em uma forma que a Função Gamma reconheça.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Com isso, precisamos achar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Mas como , podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos:
E a integral fica:

Passo 6

Reconhecendo a definição da Função Gamma:
Portanto, a integral se torna:

Resposta

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Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
g)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
d)
Dado , mostre que
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)